Exos sympas MPSI

[muggle]

muggle : je n’ai pas tout lu mais sache que tu ne peux pas raisonner comme ça avec les infinis. Il y a des tonnes d'énoncé impliquant des infinis qui semble parfaitement raisonnables et intuitifs mais qui sont faux. Le manque de rigueur et l'intuition sont souvent nécessaires pour trouver la solution d'un pb avant de la mettre au propre mais dans ce genre de cas c'est souvent trompeur (après ta "preuve" peut peut être se mettre au propre...il faudrait que je la lise pour voir )

Je comprends, mais malheureusement je n'ai pas les connaissances - me semble t-il ! - pour "mettre au propre" rigoureusement.
Si tu as le temps de la lire et de m'indiquer les éléments faux et y apporter plus de rigueur, j'en serai très heureuse

[brank]

Soit $ f $ de $ [0;1] $ dans lui-même strictement monotone. Calculer $ \displaystyle{lim}_{n -> +\infty} \int_0^1 f^n(t)dt $

archi classique, c'est dans tous les livre de sup.

[Zetary]

Bon un peu plus dur alors :

Soit $ f : [a;b] \to \mathbb{R}_+^* $ intégrable : montrer que $ \int_a^b f(t)dt > 0 $

[MorphismeC]

Tu t'es trompé de topic, il me semble qu'on aborde ce genre de fantaisies en M2...

[Zetary]

Je n'en sais rien mais c'était dans ma feuille d'exos d'intégration cette année, et comme il s'agit de l'intégrale de Riemann, c'est tout à fait faisable avec le programme de sup

[Jio15]

Je n'en sais rien mais c'était dans ma feuille d'exos d'intégration cette année, et comme il s'agit de l'intégrale de Riemann, c'est tout à fait faisable avec le programme de sup

Hum, je pense que tout le monde a cru que c'était une blague vu la trivialité du truc.

Si on tient vraiment à le rédiger : soit m>0 le min de f sur [a,b]. La fonction constante égale à m, d'intégrale m(b-a)>0, est une fonction en escalier qui minore f donc l'intégrale inférieure de f (et donc l'intégrale de f) sont minorées par cette quantité. L'intégrale de f est donc strictement positive.

[Zetary]

Hum, je pense que tout le monde a cru que c'était une blague vu la trivialité du truc.

Si on tient vraiment à le rédiger : soit m>0 le min de f sur [a,b]

Et moi je pense n'avoir indiqué nul part que f est continue, donc ce n'est pas si évident

[Syl20]

Euh...
$ \forall x \in [a,b], f(x) > 0 \Rightarrow \int_a^b f(t)dt > 0 $
On peut l'expliciter graphiquement si besoin

[into44]

...

[Jio15]

Et moi je pense n'avoir indiqué nulle part que f est continue, donc ce n'est pas si évident

Ah oui, en effet. Mais j'imagine on peut montrer qu'il existe un sous-segment de [a,b] tel que 0 ne soit pas l'inf de f sur ce sous-segment. En effet, si on suppose le contraire, alors la seule fonction en escalier positive qui minore f c'est la fonction nulle (l'intégrale inférieure de f est donc 0). Une fonction en escalier qui majore f doit au moins être supérieure à (???), donc d'intégrale supérieure à (???)>0. Ça contredit que f est intégrable.

(Ce que j'avais écrit était faux, je ne sais pas comment on peut minorer simplement l'intégrale de TOUTES les fonctions en escalier majorantes :/ )

Il existe donc [a',b'] tel que l'inf de f sur ce segment est strictement positif, et à partir de là on peut reprendre ma démo précédente (en remplaçant a par a' et b par b', ce qui suffit à prouver le résultat par relation de Chasles)