Page 303 sur 319
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 09 juil. 2016 19:09
par Jeannonyme
Pensez-vous qu'on puisse trouver l'expression exacte de g(x) ou ou que l'on peut uniquement "se contenter" de montrer l'existence d'une solution de l'équation fonctionnelle d'inconnue g ?
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 09 juil. 2016 20:06
par apzoeiruty3
Si je dis pas de bêtises on peut trouver une expression explicite, éventuellement "par morceaux"
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 12 juil. 2016 21:14
par Bidoof
The TJFK a écrit :La dernière méthode me semble très élégante, même si ce n'est pas la plus courte. Un argument similaire (utilisant les valuations 2-adiques) permet d'établir que pour tout n>=2, la n°ième somme partielle de la série harmonique n'est pas un entier.
Cette citation vient d'un passé lointain (Cf
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... start=1995).
Quelqu'un pourrait-il développer cet argument s'il vous plait ?
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 14 juil. 2016 18:12
par gchacha
Voici un lemme classique : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle ou complexe qui vérifie : $ \lim \limits_{n\to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=0 $ alors on a : $ \lim \limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=0 $.
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 14 juil. 2016 19:40
par Jio15
gchacha a écrit :Voici un lemme classique : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle ou complexe qui vérifie : $ \lim \limits_{n\to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=0 $ alors on a : $ \lim \limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=0 $.
Il me semble qu'on a fait le théorème de Cesaro il y a quelques pages, est-ce que ça vaut vraiment le coup de le revoir ?
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 14 juil. 2016 20:14
par Bidoof
Un lemme "trop" classique lol.
On peut noter que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle qui vérifie l'hypothèse est un intervalle.
Ce qui nous emmène à un autre lemme, le lemme des prisonniers (qui est tombé en oral de polytechnique, dans un passé lointain aussi).
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 14 juil. 2016 20:53
par gchacha
Si Césàro est trop classique voici un théorème un peu plus exotique : Soit $ P $ un polynôme de $ \mathbb{R}_n[X] $ de degré $ n\ge 1 $, ayant $ n $ racines deux à deux distinctes disposées dans l'ordre croissant (on notera $ x_1<...<x_n $) et$ P' $ son polynôme dérivé qui a $ n-1 $ racines deux à deux distinctes disposées dans l'ordre croissant (on notera $ y_1<...<y_{n-1} $). On note $ d $ la distance entre deux racines de $ P $ et $ d' $ celle entre deux racines de $ P' $. Montrer que $ d'>d $.
Voici une indic :
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 14 juil. 2016 23:08
par JeanN
Jio15 a écrit :gchacha a écrit :Voici un lemme classique : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle ou complexe qui vérifie : $ \lim \limits_{n\to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=0 $ alors on a : $ \lim \limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=0 $.
Il me semble qu'on a fait le théorème de Cesaro il y a quelques pages, est-ce que ça vaut vraiment le coup de le revoir ?
Pour toi, non vu que tu vas intégrer
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 14 juil. 2016 23:22
par Jio15
C'est drôle qu'on me fasse cette remarque alors qu'il y a des mecs qui traînent sur le forum (y compris sur les topics pré-MPSI, MPSI ou MP) qui ont intégré il y a plusieurs années...
Celui-là je l'ai eu en colle en sup, il est marrant :
Soit $ P $ un polynôme à racines simples $ (x_1,...,x_n) $. Montrer que $ \sum_{i=1}^n \frac{P''(x_i)}{P'(x_i)} = 0 $.
(Mais faites l'exo de gchacha avant, le résultat est vraiment cool)
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 19 juil. 2016 02:34
par gchacha
Un peu d'arithmétique classique : "Soit $ n>1 $ un entier et $ a\in\mathbb{Z} $ tel que pgcd$ (a,n)=1 $. Montrer qu'il existe $ x,y \in \mathbb{Z} $ avec $ 0<\mid x\mid, \mid y \mid < \sqrt{n} $ tels que : $ ax \equiv y \ [n] $."
(Application) : "Montrer alors que tout nombre premier de la forme $ 4n+1 $ peut s'écrire sous la forme $ a^2 + b^2 $ avec $ a,b \in \mathbb{Z} $ et pgcd$ (a,b)=1 $."
Indic essentielle :