D'une certaine manière, ton triangle est aux coefficients de Stirling ce que ceux-ci sont aux coefficients binomiaux (on rajoute un k dans la formule)
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 22 juil. 2016 11:50
par kakille
Ca n'explique pas immédiatement le lien avec les sommes de puissances, si ?
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 22 juil. 2016 11:56
par Jio15
Plutôt bien, si. Les nombres de Stirling de deuxième espèce servent classiquement à exprimer les sommes de puissances.
(Je n'ai plus la formule en tête, mais ça se montre assez bien, car on sait sommer très simplement les symboles de Pochhammer, c'est à dire les expressions de la forme x^[5] = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4), et Stirling fait le lien entre ces "puissances factices" et les puissances réelles)
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 22 juil. 2016 13:51
par kakille
Je ne demande qu'à être convaincu
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 30 juil. 2016 09:34
par Zetary
Bonjour,
J'ai un résultat sympa, que j'ai trouvé par une méthode hors programme mais j'aimerais bien savoir si vous voyez un moyen au programme d'y arriver :
Si on dispose de p couleurs pour colorier les faces d'un tétraèdre régulier, de combien de manières différentes peut on effectuer ce coloriage ?(différentes au sens où elles ne se déduisent pas mutuellement par rotation). Il est autorisé de colorier plusieurs faces de la meme couleur.
Je met le résultat si vous voulez une question fermée :
SPOILER:
$ \frac{p^4+11p^2}{12} $
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 30 juil. 2016 16:44
par Coryllis
Les actions de groupe sont pas au programme ?
Si oui, c'est assez facile avec la formule de Burnside (qui est plutôt intuitive, même si on l'a jamais vue, mais je suppose que c'est de ça que tu parles en faisant allusion au hors-programme).
Sinon, rien que formaliser l'énoncé devient assez embêtant : pour définir quels sont les coloriages équivalents on utilise en fait les actions de groupe sans le dire et bon si on fait ça, autant juste réadapter la preuve par formule de Burnside en évitant le vocabulaire hors-programme.
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 30 juil. 2016 17:26
par Zetary
Oui j'y était effectivement parvenu par Burnside, qui edt loin d'être au programme. Par contre ce qui est marrant, c'est qu'on obtient toujours pour un problème similaire un polynôme en p de degré le nombre d'objets a colorier, on pourrait donc envisager une interpolation... Même pour des gros objets.
Re: Exos sympas MPSI
Publié : 30 juil. 2016 22:19
par Fresnel
Zetary a écrit :Bonjour,
J'ai un résultat sympa, que j'ai trouvé par une méthode hors programme mais j'aimerais bien savoir si vous voyez un moyen au programme d'y arriver :
Si on dispose de p couleurs pour colorier les faces d'un tétraèdre régulier, de combien de manières différentes peut on effectuer ce coloriage ?(différentes au sens où elles ne se déduisent pas mutuellement par rotation). Il est autorisé de colorier plusieurs faces de la meme couleur.
Je met le résultat si vous voulez une question fermée :
SPOILER:
$ \frac{p^4+11p^2}{12} $
Ca se retrouve en faisant du dénombrement.
SPOILER:
Si on utilise une seule couleur, il y a p possibilités.
Si on utilise deux couleurs, il y a C(p,2) possibilités pour le choix des couleurs, puis 3 possibilités ensuite (soit on fait 3 faces d'une couleur, ce qui laisse 2 possibilités, soit on fait deux faces d'une couleur (et deux de l'autre), ce qui laisse une autre possibilité).
Si on utilise trois couleurs, il y a C(p,3) choix puis ensuite il y a 3 possibilités (le choix de la couleur qui coloriera deux faces).
Si on utilise quatre couleurs, il y a C(p,4) choix puis 2 possibilités ensuite (pour être unique à rotation près).
En sommant p+C(p,2)*3+C(p,3)*3+C(p,4)*2 on obtient le résultat souhaité.
