Exos sympas MPSI

[Kallio]

Ah oui d'accord ! Concernant les dessins j'ai encore un peu de mal à visualiser le deuxième. De plus, je n'avais pas vraiment compris qu'on cherchait les coloriages qui sont fixés par ces rotations, et du coup en lisant ça j'ai du mal à me dire "ok, de cette manière on compte tous les coloriages possibles". Donc c'est peut-être un truc tout bête mais je bloque un peu là dessus. Mis à part ça, tes explications m'ont bien aidées donc merci beaucoup !

EDIT : Je retire ce que j'ai dis concernant les coloriages, j'ai compris

Désolé si j'ai vexé quelqu'un

Tu n'as aucune raison de t'excuser

[Jio15]

Désolé si j'ai vexé quelqu'un, je pensais pas me faire rembarrer en mode "garde tes opinions pour toi". J'ai pas dit que ce qu'il proposait était complètement stupide pourtant j'avais juste envie d'être sympa

C'est un peu nul de réagir juste pour dire ça, mais vu que tu en doutes, je te garantis que j'ai trouvé tes explications très claires et intéressantes
J'ai beaucoup mieux saisi le principe conceptuel des actions de groupe via tes explications semi-informelles qu'à travers les DS calculatoires qu'on a eus dessus

De plus, je n'avais pas vraiment compris qu'on cherchait les coloriages qui sont fixés par ces rotations

C'est justement la magie de la formule de Burnside, qui rend ce dénombrement utile

[Bidoof]

@Coryllis : Je vous remercie sincèrement d'avoir pris le temps de me répondre, même si ma question n'était pas agréable, je m'en excuse, au delà de moi, je pense que d'autres aussi seront enrichis de lire votre solution détaillée à l'exercice proposé qui montre comment on utilise les actions de groupes, et vos références les introduisant.

A présent que vous avez détaillé votre propos, une des références m'attirent plus particulièrement, ce qui me donne envie de la travailler, peut être de l'intégrer dans mon planning estivale, ce qui prend du temps pour le faire sérieusement afin d'en tirer des bénéfices, et bien au delà de ça peut être que d'autre(s) aussi, pourront essayer une des références et progresser.
(Sur ce point l'avis de Jio15 a compté aussi, et bien entendu l'infinie respect que j'ai pour mon héro MATHADOR compte par dessus tout).

[gchacha]

Salut, voici un lemme classique d'algèbre linéaire, on tombe dessus 9 fois sur 10 en colle :

Soient $ (e_1,...,e_n) $ une famille de vecteurs de $ E $ (un espace vectoriel de dimension finie) et $ (g_1,...,g_{n+1}) $ une famille de vecteurs. On suppose que pour tout $ 1\le j \le n+1 $, il existe $ n $ scalaires $ \alpha_{j,1},...,\alpha_{j,n} $ tels que : $ g_j=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_{j,k} e_k $. Montrer alors que la famille $ (g_1,...,g_{n+1}) $ est liée et en déduire une propriété sur l'ensemble des bases de $ E $.

[Kallio]

Un exercice sympa d'analyse, donné au Putnam 1947 :

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [1,+\infty[ $ et dérivable sur $ ]1,+\infty[ $ telle que $ f(1) = 1 $ et pour tout $ x > 1 $, $ f'(x) = \frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $.

Montrer que $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $ existe et est strictement inférieure à $ 1 + \frac{\pi}{4} $.

[muggle]

Un exercice sympa d'analyse, donné au Putnam 1947 :

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [1,+\infty[ $ et dérivable sur $ ]1,+\infty[ $ telle que $ f(1) = 1 $ et pour tout $ x > 1 $, $ f'(x) = \frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $.

Montrer que $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $ existe et est strictement inférieure à $ 1 + \frac{\pi}{4} $.

Pour les autres terminales qui passeraient par là : HP : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Arc_tangente
Un essai :

SPOILER:

On note I l'intervalle d'étude. D'après la relation entre f et f', f' est continue sur I. De plus f' est non nulle sur I et f'(1)=0,5, d'où $ f'(x)>0 $ pour tout x de I, d'où f strictement croissante sur I. Ainsi donc, f(1)=1 est le minimum de f sur I, d'où $ f'(x) \le \frac{1}{1+x^2} $. En intégrant entre 1 et n (réel supérieur à 1) : $ f(n)-1< arctan(n)-arctan(1) $, d'où en passant à la limite et en posant l la limite en +infini de f : $ l < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 1 $, d'où $ l < 1 + \frac{\pi}{4} $.

[Kallio]

Oui c'est bien ça !
J'ai hésité à le mettre sur le post des terminales, mais vu que j'avais déjà mît un exercice sur l'autre post je suis venu mettre celui là ici.

[darklol]

Un exercice sympa d'analyse, donné au Putnam 1947 :

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [1,+\infty[ $ et dérivable sur $ ]1,+\infty[ $ telle que $ f(1) = 1 $ et pour tout $ x > 1 $, $ f'(x) = \frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $.

Montrer que $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $ existe et est strictement inférieure à $ 1 + \frac{\pi}{4} $.

Pour les autres terminales qui passeraient par là : HP : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Arc_tangente
Un essai :

SPOILER:

On note I l'intervalle d'étude. D'après la relation entre f et f', f' est continue sur I. De plus f' est non nulle sur I et f'(1)=0,5, d'où $ f'(x)>0 $ pour tout x de I, d'où f strictement croissante sur I. Ainsi donc, f(1)=1 est le minimum de f sur I, d'où $ f'(x) \le \frac{1}{1+x^2} $. En intégrant entre 1 et n (réel supérieur à 1) : $ f(n)-1< arctan(n)-arctan(1) $, d'où en passant à la limite et en posant l la limite en +infini de f : $ l < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 1 $, d'où $ l < 1 + \frac{\pi}{4} $.

Bon début mais plusieurs points à revoir:

SPOILER:

Bon déjà tu peux oublier tes arguments de continuité pour dire que $ f $ est strictement croissante: $ f' $ est strictement positive, point (le dénominateur est strictement positif). Le fait que $ f' $ soit continue servira par contre pour l'intégrer.

Ensuite, le problème c'est que $ f' $ n'est a priori définie que sur $ ]1,+\infty[ $ (eh oui c'est le problème de ton fameux "intervalle d'étude", c'est qui en fait?), or tu ne sais intégrer que des fonctions continues sur un segment a priori (si tu es en terminale, même en sup d'ailleurs je crois mais ça n'est peut être plus le cas avec le changement de programme, pas sûr). Le mieux pour l'instant reste d'intégrer entre $ 1+\epsilon $ et $ n $ avec $ \epsilon > 0 $ puis de le faire tendre vers 0.

Puis, il faut commencer par prouver que la limite existe avant de passer à la limite. Théorème de la limite monotone par exemple?
Enfin, quand tu passes à la limite, seules les inégalités larges sont conservées, donc tu n'as pas encore l'inégalité stricte.

[muggle]

Merci de ton temps darklol Par point :

- Oui effectivement Au début j'avais lu f^2 comme la composée et non le carré, du coup le dénominateur positif ne m'est pas venu

- J'ai effectivement également commis l'erreur de lire 1 compris dans l'intervalle d'étude donné alors qu'il n'y est pas... Donc comme tu l'as écrit il aurait fallu que je fasse tendre un epsilon vers 0, puis n vers l'infini.

- Je ne connais(sais ) pas le théorème de la limite monotone, mais je pensais de manière peu rigoureuse et intuitive que le fzit que f' ne s'annule pas et donc que f était strictement croissante justifiait l'existence de la limite (pas de "vaguelettes). Mais effectivement je ne l'ai précisé nulle part.
En revanche, pourquoi l'inégalité stricte n'est-elle pas conservée ici ?

[darklol]

En effet ton explication est la raison "physique" de pourquoi le théorème de la limite monotone est vrai, mais il faut l'invoquer pour obtenir l'existence de la limite de façon rigoureuse.

Quand tu passes à la limite, les inégalités strictes ne sont jamais conservées. Par exemple, $ \forall n \in \mathbb{N}^*, 1 + \frac{1}{n} > 1 $. Passe à la limite et tu verras.