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darklol a écrit :Bon début mais plusieurs points à revoir

Antoine- a écrit : Concernant la continuité de f' en 1, on peut utiliser le théorème de limité de la dérivée (ça évite le epsilon et tout)

darklol a écrit :Pas quand on est en terminale. C'est pour ça que j'ai dit "pour l'instant le mieux reste de blabla".

kakille a écrit :Bonjour,

D'un côté :

$ \begin{array}{lllll}1_1&&&&\\1_1&1_2&&&\\ 1_1 & 3_2 & 2_3 & \\ 1_1 & 7_2 & 12_3 & 6_4 \end{array} $

etc. (La recette pour continuer : $ 1\times 1+3\times 2=7 $. Donc sous le $ 12 $, on trouvera $ 50 $.)

D'un autre côté :

$ \sum_{i=1}^n i^0=1{n \choose 1} $
$ \sum_{i=1}^n i^1=1{n \choose 1}+1{n \choose 2} $
$ \sum_{i=1}^n i^2=1{n \choose 1}+3{n \choose 2}+2{n \choose 3} $
$ \sum_{i=1}^n i^3=1{n \choose 1}+7{n \choose 2}+12{n \choose 3}+6{n \choose 4} $
etc.

Soit P un polynôme à coefficients entiers dont on suppose toutes les racines réelles : montrer que la somme des arctangentes des racines de P appartient modulo $ \pi $ à $ arctan(\mathbb{Q}) \cup \{\pi/2\} $

En particulier, calculer $ arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) $

Zetary a écrit :Un petit exo perso :

Soit P un polynôme à coefficients entiers dont on suppose toutes les racines réelles : montrer que la somme des arctangentes des racines de P appartient modulo $ \pi $ à $ arctan(\mathbb{Q}) \cup \{\pi/2\} $

En particulier, calculer $ arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) $

XkIzo a écrit :Petit exo : Soit P un polynôme de degré au plus 2013 tel que pour tout entier n compris entre 0 et 2013 on ait P(n) = n/(n+1). Que vaut P(2014)?

Antoine- a écrit :Un exercice sympa d'analyse, donné au Putnam 1947 :

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [1,+\infty[ $ et dérivable sur $ ]1,+\infty[ $ telle que $ f(1) = 1 $ et pour tout $ x > 1 $, $ f'(x) = \frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $.

Montrer que $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $ existe et est strictement inférieure à $ 1 + \frac{\pi}{4} $.

Jio15 a écrit :

XkIzo a écrit :Petit exo : Soit P un polynôme de degré au plus 2013 tel que pour tout entier n compris entre 0 et 2013 on ait P(n) = n/(n+1). Que vaut P(2014)?

Je me suis sûrement trompé, mais après de longs calculs, je trouve 1 O_o

Détails :

SPOILER:

Égalités successives :
$ \sum_{n=0}^{2013} \frac{n}{n+1} \prod_{k=0,1,..,n-1,n+1,..,2013} \frac{2014-k}{n-k} $ (Lagrange)
$ \sum_{n=0}^{2013} \frac{n}{n+1} \frac{2014!}{(2014-n)n!(2013-n)!(-1)^{2013-n}} $
$ \sum_{n=0}^{2013} \frac{-2014!n(-1)^n}{(2014-n)!(n+1)!} $
$ \frac{1}{2015} \sum_{n=1}^{2014} \binom{2015}{n} (n-1)(-1)^n $
$ \frac{1}{2015} [ \sum_{n=1}^{2014} \binom{2015}{n} n (-1)^n - ( (1-1)^{2015} - 1 - (-1)^{2015} ) ] $ (binôme de Newton)
$ \frac{1}{2015} \sum_{n=1}^{2014} \binom{2015}{n} n (-1)^n $

Posons : $ f(x)=\frac{1}{2015} \sum_{n=1}^{2014} \binom{2015}{n} (-x)^n $. On cherche $ f'(1) $
Or $ f(x)=\frac{1}{2015} [ (1-x)^{2015} - 1 + x^{2015} ] $
$ f'(x)= x^{2014} - (x-1)^{2014} $
$ f'(1)= [ 1 - 0 ] = 1 $