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Zetary a écrit :Plus intéressant : remplacer fonction continue par fonction croissante dans l'énoncé

Edit; j'ai rien dit

Sauf si on considère les deux fonctions indicatrices suivantes : $ 1_{]\sqrt{2};+\infty[} $ et $ 1_{[\sqrt{2};+\infty[} $

J'avoue

Zetary a écrit :Montrer que $ \mathbb{R} \sim C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $.
[...] Plus intéressant : remplacer fonction continue par fonction croissante dans l'énoncé

Il me semble qu'on peut carrément considérer les fonctions réelles dont l'ensemble des points de discontinuité est dénombrable ou fini.
Mais est-ce vraiment un exercice de MPSI ?

Siméon a écrit :

Zetary a écrit :Montrer que $ \mathbb{R} \sim C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $.
[...] Plus intéressant : remplacer fonction continue par fonction croissante dans l'énoncé

Il me semble qu'on peut carrément considérer les fonctions réelles dont l'ensemble des points de discontinuité est dénombrable ou fini.
Mais est-ce vraiment un exercice de MPSI ?

De mémoire, le théorème de Froda est du HP en MPSI mais c'est possible de le rencontrer.

C'est un exo classique dans le cas particulier d'une fonction monotone.
Je pense qu'en MP on trouverait ça trop facile et qu'en MPSI ça demande de la réflexion mais que c'est faisable

Attention à ne pas généraliser les considérations sur le niveau en MP à partir d'observations réalisées dans le cinquième.
Même là-bas d'ailleurs ça pourrait donner du fil à retordre à plus d'un.

Certains profs font le lemme de Tukey en MPSI mdr

Nous on a eu un petit dm sympathique : intégrabilité des fonctions réglées et théorème de convergence dominée pour l'intégrale de Riemann ! ^^
Je mets le lien si il y en a qui sont intéressés :
http://alain.troesch.free.fr/2015/Fichiers/dm17.pdf

En voici un marrant :

"Soient $ p,q $ deux nombres premiers différents. Alors, $ p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1 \ [pq] $."