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Sans utiliser la formule générale de la question suivante, déterminer la valeur exacte de $ \cos(\arctan(\dfrac{1}{5})) $ et $ \sin(\arctan(\dfrac{1}{5})) $

Démontrer que pour tout réel $ x\text{, } \cos(\arctan(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $ et $ \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $

L'arc-tangente (arctan) d'un réel $ x $ est la mesure d'un angle orienté $ \theta $ dont la tangente (tan) vaut $ x $

gregoire22 a écrit :Bonjour à tous,

Voici un exercice :

Pour tout entier naturel n strictement plus grand que 1, démontrer que $ n^4 + 64 $ n’est pas premier.

SPOILER:

Première étape : Disjonction de cas

On regarde les congruences modulo 5.

On a soit $ n^4+64\equiv -1[5] $ soit $ n^4+64\equiv 0[5] $,
Dans le premier cas, $ n^4+64\equiv 0[5] $,CQFD (ou presque).
Dans le deuxième cas, $ n^4+64\equiv -1[5] $, on suppose n impair sinon, c'est trivial (et donc je le démontre pas ).

Deuxième étape : Conjecture

On se retrouve ainsi avec n du type n=k*10+5 où k appartient à N.

Une petite conjecture nous permet d'introduire la suite suivante définie par :
$ u_0=13 $
$ u_{p+1}=u_p+(2p+1)*100+60 $

On suppose que u(k) divise $ n^4+64 $ avec n=k*10+5.
On démontre par récurrence que $ u_p=20p*(5p+3)+13 $

Troisième étape : Démonstration

On démontre que u(k) divise $ n^4+64 $ avec n=k*10+5.
On développe $ (k*10+5)^4+64 $ et on fait une identification en supposant que c'est du type $ (100p^2+60p+13)(\alpha*p^2+\beta*p+\delta) $
On trouve : $ \alpha=100 ; \beta = 140 ; \delta=53 $

EDIT : On aurait pu faire la conjecture dès le début pour tout n (ce qui revenait à factoriser l'expression), mais j'étais parti avec les congruences donc...

<Cauchy> a écrit :DerMeister59 : ok je viens de voir c'est bon

Un autre exo que j'avais trouvé chouette lors de ma sup ^^

1. On considère la fonction f définie par :
f : R+ --> R
x |--> Arctan(x+1) - Arctan(x)

Montrer qu'il existe une fonction g définie sur R+ vérifiant pour tout x dans R+, f(x) = Arctan(g(x)).

2. Montrer que la suite (Sn) définie par : pour tout n appartenant à N, Sn = Somme [1/(k²+k+1)], k de 0 à n
est convergente et indiquer sa limite.

raf38 a écrit :

<Cauchy> a écrit : 1. On considère la fonction f définie par :
f : R+ --> R
x |--> Arctan(x+1) - Arctan(x)

Montrer qu'il existe une fonction g définie sur R+ vérifiant pour tout x dans R+, f(x) = Arctan(g(x)).

2. Montrer que la suite (Sn) définie par : pour tout n appartenant à N, Sn = Somme [1/(k²+k+1)], k de 0 à n
est convergente et indiquer sa limite.

SPOILER:

1) Sans utiliser la formule d'addition :
A la première question, on dérive l'équation de départ puis on trouve : $ \frac{1}{(x+1)^2+1}-\frac{1}{x^2+1} = g'(x)*Arctan'(g(x)) $ soit $ \frac{-2x-1}{(x^2+1)((x+1)^2+1)} = \frac{g'(x)}{1+g(x)^2} $ et enfin : $ \frac{-2x-1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}= \frac{g'(x)}{g(x)^2+1} $.
Comme première idée, on cherche a priori une fonction g telle que $ g'(x)=-2x-1 $ et $ g(x)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1 $, on trouve $ g(x)=-x^2-x-1 $ comme solution probable.
De l'équation de départ, on trouve de plus que f(0)=0, mais que $ arctan(g(0))=arctan(-1)=-\pi/2 $. Or on sait que $ arctan(-x)=-pi/2+arctan(1/x) $, ce qui nous incite à choisir comme fonction g, la fonction g(x)=1/(x²+x+1). Ca tombe bien, on la voit à la question suivante .

2) Pour la limite de $ \sum{arctan(\frac{1}{(k^2+k+1)}}) $ en se servant de la question 1 on fait un télescopage (ah bon ?) et on trouve que Sn=arctan(0)+arctan(n+1) puis Sn=pi/2 quand n tend vers l'infini.



BONUS qui n'a rien à voir :

Démontrer la convergence de $ \sum{\frac{1}{k^2+k+1} $

On a :
$ \sum{\frac{1}{k^2+k+1}}<1+\sum{\frac{1}{k^2+k}}} $
Or : $ 1+\sum{\frac{1}{k^2+k}}=1+\sum{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}} $
Par un télescopage, on trouve que : $ \lim 1+\sum{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=2}} $.

Du coup, par le théorème des gendarmes, comme $ \sum{\frac{1}{k^2+k+1}}>0 $, la somme converge !