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Si, je les connais (et je suis pas si sénile que ça).

...

Bienvenue à vous,

j'ai juste une question, vous préférez qu'on vous appelle "spationautes","taïkonautes", "astronautes" ou "cosmonautes"

Allo la police !

On se place dans le cas où les intervalles $ I_1,...,I_n $ sont des intervalles de R et présentent tous une borne inférieure réelle.
Soit l'ensemble des bornes inférieures (dont on sait qu'il est non-vide) réelles. Cet ensemble contient un plus petit élément que nous appellerons p.
Soit $ I_j $ l'intervalle dont la borne inférieure est p (s'il existe deux intervalles dont la borne inférieure est p dont un est ouvert en p, on prend celui qui est fermé p, sinon peu importe).

Considérons maintenant $ \displaystyle{\bigcup_{k\neq j}} I_k $. Soit cette union d'intervalles est un intervalle, soit elle ne l'est pas. Si elle l'est, c'est gagné.
Sinon elle comprend au moins un $ I_m $ tel que $ sup(I_m)<inf(\displaystyle{\bigcup_{k\neq m ; k \neq j}} I_k) $. Mais on sait que $ \displaystyle{\bigcup_{k=1}^n} I_k $ est un intervalle de R, ce qui implique que $ sup(I_j)\geq inf(\displaystyle{\bigcup_{k \neq j}} I_k) $.
Or p est la borne la plus petite des bornes inférieures des $ I_i $ du coup $ I_m $ est inclus dans $ I_j $. Finalement on en déduit que $ \displaystyle{\bigcup_{k\neq m}} I_k $ est un intervalle de R.

Dans le cas où la borne inférieure de $ \displaystyle{\bigcup}} I_k $ est $ -\infty $, on applique le même raisonnement avec $ I_n $ l'intervalle dont la borne inférieure est $ -\infty $.

Si jamais $ \displaystyle{\bigcup_{k\neq n}} I_k $ n'est pas un intervalle, en reprenant les notations de ci-dessus, on sait alors que $ I_m=\left \{ x \textup{ tels que } x < sup(I_m)\right \} $ et que $ I_n=\left \{x \textup{ tels que } inf(I_n) < x < sup(I_n)\right \} $ ou éventuellement $ I_n=\left \{x \textup{ tels que }x < sup(I_n)\right \} $ avec $ sup(I_m) < sup(I_n) $. Ainsi $ I_m $ est inclus dans $ I_n $ et on conclut la démonstration.

Dans le cas où un intervalle est R en personne, c'est plus ou moins trivial.

Je n'ai pas parlé d'une formule d'arc-tangente avec des complexes, mais comme on fait apparaître à la fois des sin et des cos on peut exprimer ceci à l'aide d'une exponentielle complexe par exemple ...