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$ \overline{A} $ est compact bien sûr, mais pas nécessairement gros :

$ A := \{ 3^{-n} + 3^{-m} \: | \: (n, m) \in \mathbb{N}^2 \} $
$ \overline{A} = A \sqcup \{3^{-p} \: | \: p \in \mathbb{N} \} \sqcup \{ 0 \} $

Oui :

$ 0 = (230 - 230) \times (230 + 230 + 230 + 230 + 230) $.

Soit $ n \in \mathbb{N}^{*} $.
L'ensemble $ \{ \frac{2^p}{3^q} \: | \: (p, q) \in \mathbb{N}^2 \} $ est dense dans $ \mathbb{R}_{+} $.
On dispose ainsi de $ (p, q) \in \mathbb{N}^2 $ tel que $ \log_{2} (n) < \frac{2^p}{3^q} < \log_{2} (n+1) $, donc tel que $ n = \lfloor 2^{\frac{2^p}{3^q}} \rfloor = \lfloor g^q(f^p(\frac{230+230}{230})) \rfloor + (230 - 230) + (230 - 230) $ où $ f $ et $ g $ sont les fonctions carré et racine cubique.

Non :
Par récurrence : $ \forall n \in \mathbb{N} $,$ f^n(1) \equiv \left \{ \begin{split} 1 \; [\text{mod} \; 4] \; & \mbox{ si } n \; \text{est pair} \\ 2 \; [\text{mod} \; 4] \; & \mbox{ si } n \; \text{est impair}\end{split} \right. $.
Donc $ \forall n \in \mathbb{N} $, $ 2^{115} \nmid f^n(1) $, puis $ \forall n \in \mathbb{N} $, $ 2^{230} \nmid [f^n(1)]^2 $, puis $ \forall n \in \mathbb{N}^{*} $, $ 2^{231} \nmid [f^{n-1}(1)]^2 $, puis $ \forall n \in \mathbb{N}^{*} $,$ f^n(1) \not\equiv 1 \; [\text{mod} \; 2^{231}] $.

En fait $ \sum_{a \in \mathbb Z/2n\mathbb Z} a = n $.

Non :

Supposons que $ R $ peut être décrite à l'aide des opérations $ + $, $ - $, $ \times $, $ / $, $ E $. Il existe une fonction $ f $, composée de ces opérations, qui prolonge $ R $ sur $ \mathbb{R} $ sauf en un nombre fini de points. $ f $ est continue sur l'intérieur de son domaine de définition $ \mathring{D_f} $, qui est une réunion d'intervalles non vides et non réduits à un point. En particulier, par densité de $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $, f est continue en un point $ x_0 = a_0 + b_0\sqrt{2} $ de $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $.

Pourtant :

Soit $ \eta > 0 $ tel que $ f $ est bien définie sur $ ]x_0 - \eta, x_0 + \eta[ $.
On dispose de $ (r,s) \in \mathbb{Q}^2 $ vérifiant $ |r - s \sqrt{2}| \le 1 $ et $ |r + s \sqrt{2}| > \frac{1}{\eta} $.
Soit $ (c,d) \in \mathbb{Q}^2 $ tel que $ \frac{1}{r + s \sqrt{2}} = c + d \sqrt{2} $.
Posons $ x = x_0 + c + d \sqrt{2} $.
On a $ |x - x_0| < \eta $ et $ |f(x) - f(x_0)| = |R(x) - R(x_0)| = |c - d \sqrt{2}| = \frac{1}{| r - s \sqrt{2} |} \ge 1 $.
Absurde.

Soit $a$ un réel dont le développement dyadique contient toute suite finie de $0$ et de $1$. Alors $\left\{\cos(2^n a\pi) ; n \in \mathbb N \right\}$ est dense dans $]-1,1[$. Ceci correspond à la suite engendrée par $g: c \mapsto 2 c^2 - 1$ en partant de $\cos(a\pi)$. Il suffit donc de considérer $f = \varphi \circ g\circ \varphi^{-1}$ où $\varphi$ est un homéomorphisme quelconque de $]-1;1[$ dans $\mathbb R$ tel que $\varphi(\cos(a\pi)) = 0$.