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Bonsoir Dattier,
On est désormais en plein dans l'ère probabiliste!
Auriez-vous des preuve très efficace de la loi forte des grands nombres?
Pour les lemmes de Borel Cantelli:
Premier résultat:
Soit (A_n) une suite de variables aléatoires, on suppose que Série des P(A_n) converge, alors : P(limsup A_p) = 0

Preuve:
Pour tout n dans N, limsup A_p $c$ réunion sur k>=n de A_k, donc:
P(limsup A_p)<=P(Réunion sur k>=n A_k)
Donc: (sous-additivité de P)
P(limsup A_p)<=somme sur k>=n P(A_k)
En tant que reste d'une série convergente, la dernière somme tend vers 0 et donc, par encadrement:
P(limsup A_p) = 0

Second résultat:
Soit (A_n) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que Série des P(A_n) converge, alors: P(limsup A_p)=1

Preuve:
P(limsup A_p) = lim n→+∞ (lim N→+∞ P(réunion pour P=n à N de A_p))
=lol n->+inf ( 1 - lim N->+inf produit sur p=n à N (1-P(A_p)))
>=lim n->+inf(1- lim N->+inf produit sur p=n à N de exp(-P(A_p)) (inégalité de convexité)
>= Lim n->+inf (1-lim N->+inf exp(-somme sur k=n à N P(A_p)))
>= 1 car la série diverge
D'où P(limsup A_p)=1

Pour le second résultat, il faut rajouter dans les hypothèses que les variables sont indépendantes. Avec cette preuve qui est celle que je connais, on l'utilise au moment où le produit apparaît. Cependant, il parait que le résultat reste vrai même si les variables aléatoires ne sont que deux à deux indépendantes. Je n'ai pas vu la preuve dans ce cas.

Merci beaucoup pour la correction