Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Meijnir :

SPOILER:

pour la suite de vos études en France, je me permets de vous conseiller de perdre l'habitude de parler de la fonction $ 1+x^2 $. Sinon, vous vous êtes un peu mélangé les pinceaux dans les justifications pour le logarithme. A part ça, vous avez bien dit l'essentiel.

[Meijnir]

Meijnir :

SPOILER:

pour la suite de vos études en France, je me permets de vous conseiller de perdre l'habitude de parler de la fonction $ 1+x^2 $. Sinon, vous vous êtes un peu mélangé les pinceaux dans les justifications pour le logarithme. A par ça, vous avez bien dit l'essentiel.

D'accord,c'est "la fonction $ u:x \mapsto 1+x^2 $" qu'il faut écrire alors?

[segoviaA]

Sans le "u:" c est parfait.

[Magnéthorax]

Bonsoir,

ambiance rosé-merguez pour cet exercice : dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la courbe $ \mathcal{P} $ d'équation $ y=x^2 $. Pour chaque droite $ d $ parallèle à l'axe des ordonnées, on note $ M $ son point d'intersection avec la courbe $ \mathcal{P} $. La droite passant par $ M $ perpendiculaire à la tangente à $ \mathcal{P} $ au point $ M $ s'appelle la normale à $ \mathcal{P} $ au point $ M $. On considère enfin la droite $ d' $, symétrique de $ d $ par rapport à la normale à $ \mathcal{P} $ en $ M $.

Démontrez que toutes les droites $ d' $ ainsi obtenues sont concourantes.

[Meijnir]

D'accord,c'est "la fonction $ u:x \mapsto 1+x^2 $" qu'il faut écrire alors?

OK,mais si on veut nommer la fonction,on écrit bien comme cela?

[Magnéthorax]

Meijnir :

D'accord,c'est "la fonction u:x \mapsto 1+x^2" qu'il faut écrire alors?

C'est mieux. Comme le dit segoviaA, ça n'est pas la peine de lui donner un nom si vous n'en faite rien après. Sinon, le fait de distinguer $ 1+x^2 $ et $ x\mapsto 1+x^2 $ se révèlera important quand vous étudierez les ensembles et les applications et, plus tard, l'algèbre linéaire. C'est pas juste pour vous embêter.

[segoviaA]

Un petit exercice qui fut la premiere chose (ou presque) que j ai vu en SUP:

En admettant le fait qu un ensemble non vide d entier naturel possede toujours un plus petit element, demontrer le "principe de recurrence", a savoir que si on a A une partie de N ensemble des entiers naturels (cad A inclus dans N) tels que:
1) 0 appartient a A
2) pour tout n dans A, n+1 est dans A

Alors A=N

SPOILER:

On pourra utiliser un raisonnement par l absurde en supposant que l ensemble B des entiers naturels n appartenant pas a A n est pas vide

[muscovado]

On définit B étant l'ensemble des entiers n'étant pas dans A. On suppose B non vide, donc il admet un plus petit élément b non nul. Donc b-1 est dans A, et ainsi b-1+1=b aussi. Absurde donc B est vide et A=IN.

[segoviaA]

Voila tout simplement c est bien ca Muscovado ! C est mon raisonnement par l absurde prefere (avec l infinitude des nombres premiers aussi). Enfin on formalise pour demontrer quelque chose qui a l air evident.

[Meijnir]

@corderaide,segoviaA,Magnéthorax

Merci à vous trois pour ces précisions