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Bonjour,

soit $ n $ un entier naturel non nul et $ x_1,...,x_n $ des réels. Etant donnée une variable aléatoire $ X $ prenant les valeurs $ x_1,...,x_n $, on note $ p_1=\mathbb{P}(X=x_1),...,p_n=\mathbb{P}(X=x_n) $. On définit alors une fonction $ \mathcal{E} $ en posant $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (x_i-x)^2 $ pour tout réel $ x $. Démontrez que $ \mathcal{E} $ possède un minimum sur $ \mathbb{R} $ et identifiez, en termes "probabilistes", le réel où elle l'atteint ainsi que sa valeur. Que deviennent ces résultats si on définit la fonction $ \mathcal{E} $ en posant $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i |x_i-x| $ pour tout réel $ x $ ? Comment adapteriez-vous cet énoncé si on supposait que $ X $ est une variable aléatoire à densité sur l'intervalle $ [0,1] $ ?

Magnéthorax a écrit :Bonjour,

soit $ n $ un entier naturel non nul et $ x_1,...,x_n $ des réels. Etant donnée une variable aléatoire $ X $ prenant les valeurs $ x_1,...,x_n $, on note $ p_1=\mathbb{P}(X=x_1),...,p_n=\mathbb{P}(X=x_n) $. On définit alors une fonction $ \mathcal{E} $ en posant $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (x_i-x)^2 $. Démontrez que $ \mathcal{E} $ possède un minimum sur $ \mathbb{R} $ et identifiez, en termes "probabilistes", le réel où elle l'atteint ainsi que sa valeur. Comment adapteriez-vous cet énoncé si on suppose maintenant que $ X $ est une variable aléatoire à densité sur l'intervalle $ [0,1] $ ?

Meijnir :

Magnéthorax a écrit :Meijnir :

SPOILER:

1) Oui et comment s'appelle le minimum ? Sinon, vous n'êtes pas (du tout) obligé de passer par la dérivation pour établir l'existence du minimum : $ \mathcal{E} $ est une fonction polynôme du second degré 3) C'est bien cela. Le calcul qui suit est en tout point identique avec le cas fini.

Ce n'est pas la variance?

Si.

Vous avez essayé avec les valeurs absolues à la place des carrés ?

Magnéthorax a écrit :Si.

Vous avez essayé avec les valeurs absolues à la place des carrés ?

Oui j'ai essayé mais je ne vois pas comment on peut arriver à trouver le minimum avec les valeurs absolues.
(Parce que la dérivée seconde est nulle et on ne connait pas le signe de $ x-x_i $)

Bonjour, j'avais une question : qu'est ce que le fameux ensemble $ \mathbb{K} $ ? Il apparaît à peu près partout mais je ne trouve nul part à quoi il correspond ...

mrbs56 a écrit :Bonjour, j'avais une question : qu'est ce que le fameux ensemble $ \mathbb{K} $ ? Il apparaît à peu près partout mais je ne trouve nul part à quoi il correspond ...

A ce que j'ai compris,c'est un ensemble quelconque.
Mais je l'ai plus trouvé en tant que corps quelconque(avec donc corps $ \mathbb{K} $).

Bonsoir,

en général on note $ \mathbb{K} $ un corps (körper auf deustch) quelconque (tout comme on note $ f $ une fonction quelconque). Un corps est un ensemble dont les éléments peuvent se combiner selon des règles précises. Vous verrez la définition en première année. Vous connaissez déjà quelques corps : $ \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} $.

$ \mathbb{N} $ et $ \mathbb{Z} $ ne le sont pas?