Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Non

[Magnéthorax]

Meijnir :

Oui j'ai essayé mais je ne vois pas comment on peut arriver à trouver le minimum avec les valeurs absolues.
(Parce que la dérivée seconde est nulle et on ne connait pas le signe de x-x_i)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Médiane_(statistiques)

[Meijnir]

Meijnir :

Oui j'ai essayé mais je ne vois pas comment on peut arriver à trouver le minimum avec les valeurs absolues.
(Parce que la dérivée seconde est nulle et on ne connait pas le signe de x-x_i)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Médiane_(statistiques)

D'accord mais on montre ça comment?
ou c'est juste une définition?

[Magnéthorax]

On peut démontrer que la médiane est le réel où $ \mathcal{E} $ atteint son minimum.

[Meijnir]

On peut démontrer que la médiane est le réel où $ \mathcal{E} $ atteint son minimum.

SPOILER:

Considérons que $ 0\leq x_1\leq ...\leq x_n $
On a alors: $ \forall x\in [0,x_m],\mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^m p_ix_i- $$ x\sum_{i=1}^m p_i +x\sum_{i=m}^n p_i-\sum_{i=m}^n p_ix_i $
On alors $ \mathcal{E'}(x)=\sum_{i=m}^n p_i-\sum_{i=1}^m p_i $

on remarque $ \mathcal{E'}(x)=0 $ ssi x est la médiane de X(ie couper l'ensemble des valeurs en deux parties égales)

si $ x_0<x $,alors $ \mathcal{E'}(x_0)<0 $,donc $ \mathcal{E} $ est décroissante quand $ x_0<x $
si $ x_0>x $,alors $ \mathcal{E'}(x_0)>0 $,donc $ \mathcal{E} $ est croissante quand $ x_0>x $

La médiane est donc bien le minimum

[Magnéthorax]

Bonsoir,

dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $ \mathcal{E} $ la courbe représentative de la fonction exponentielle. Que dire de la position de cette courbe par rapport à ses tangentes ? Soient $ a,b $ deux réels et $ A,B $ les deux points de $ \mathcal{E} $ d'abscisses respectives $ a,b $. Etudiez la position de $ \mathcal{E} $ par rapport à la droite $ (AB) $.

[Magnéthorax]

Meijnir :

SPOILER:

Qui est le $ x_m $ ou le $ m $ dont vous parlez ? Ils n'ont pas été introduits avant.

[Meijnir]

Bonsoir,

dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $ \mathcal{E} $ la courbe représentative de la fonction exponentielle. Que dire de la position de cette courbe par rapport à ses tangentes ? Soient $ a,b $ deux réels et $ A,B $ les deux points de $ \mathcal{E} $ d'abscisses respectives $ a,b $. Etudiez la position de $ \mathcal{E} $ par rapport à la droite $ (AB) $.

SPOILER:

On a comme équation de tangente au point $ (a,e^a) $ ,$ y=e^a x+e^a(1-a) $
Soit $ d:x \mapsto e^x-xe^a+e^a(1-a) $
d dérivable comme somme d'exponentielle et de polynôme et $ d'(x)=e^x-e^a $
si x<a,alors d'(x)<0,donc d est décroissante quand x<a
si x>a,alors d'(x)>0,donc d est croissante quand x>a
donc d admet un minimum en a et qui vaut $ d(a)=0 $
donc les tangentes de la courbe $ \mathcal{E} $ sont toujours en dessous de celle ci

Meijnir :

SPOILER:

Qui est le $ x_m $ ou le $ m $ dont vous parlez ? Ils n'ont pas été introduits avant.

m est un entier compris entre 1 et n

[Magnéthorax]

Meijnir : ok pour les tangentes

[Tornado]

Salut,

Juste pour les tangentes c'est peut-être un peu c** ce que je vais dire mais ce n'est pas simplement un conséquence de la convexité de la fonction $ x \mapsto e^x $ ?
Et si je dis ça comme ça, il faut une preuve ou bien ça suffit ?

Tornado