Oui j'ai essayé mais je ne vois pas comment on peut arriver à trouver le minimum avec les valeurs absolues.
(Parce que la dérivée seconde est nulle et on ne connait pas le signe de x-x_i)
Oui j'ai essayé mais je ne vois pas comment on peut arriver à trouver le minimum avec les valeurs absolues.
(Parce que la dérivée seconde est nulle et on ne connait pas le signe de x-x_i)
D'accord mais on montre ça comment?
ou c'est juste une définition?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 03 juil. 2014 14:58
par Magnéthorax
On peut démontrer que la médiane est le réel où $ \mathcal{E} $ atteint son minimum.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 03 juil. 2014 16:47
par Meijnir
Magnéthorax a écrit :On peut démontrer que la médiane est le réel où $ \mathcal{E} $ atteint son minimum.
SPOILER:
Considérons que $ 0\leq x_1\leq ...\leq x_n $
On a alors: $ \forall x\in [0,x_m],\mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^m p_ix_i- $$ x\sum_{i=1}^m p_i +x\sum_{i=m}^n p_i-\sum_{i=m}^n p_ix_i $
On alors $ \mathcal{E'}(x)=\sum_{i=m}^n p_i-\sum_{i=1}^m p_i $
on remarque $ \mathcal{E'}(x)=0 $ ssi x est la médiane de X(ie couper l'ensemble des valeurs en deux parties égales)
si $ x_0<x $,alors $ \mathcal{E'}(x_0)<0 $,donc $ \mathcal{E} $ est décroissante quand $ x_0<x $
si $ x_0>x $,alors $ \mathcal{E'}(x_0)>0 $,donc $ \mathcal{E} $ est croissante quand $ x_0>x $
La médiane est donc bien le minimum
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 03 juil. 2014 20:38
par Magnéthorax
Bonsoir,
dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $ \mathcal{E} $ la courbe représentative de la fonction exponentielle. Que dire de la position de cette courbe par rapport à ses tangentes ? Soient $ a,b $ deux réels et $ A,B $ les deux points de $ \mathcal{E} $ d'abscisses respectives $ a,b $. Etudiez la position de $ \mathcal{E} $ par rapport à la droite $ (AB) $.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 03 juil. 2014 20:42
par Magnéthorax
Meijnir :
SPOILER:
Qui est le $ x_m $ ou le $ m $ dont vous parlez ? Ils n'ont pas été introduits avant.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 03 juil. 2014 21:21
par Meijnir
Magnéthorax a écrit :Bonsoir,
dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $ \mathcal{E} $ la courbe représentative de la fonction exponentielle. Que dire de la position de cette courbe par rapport à ses tangentes ? Soient $ a,b $ deux réels et $ A,B $ les deux points de $ \mathcal{E} $ d'abscisses respectives $ a,b $. Etudiez la position de $ \mathcal{E} $ par rapport à la droite $ (AB) $.
SPOILER:
On a comme équation de tangente au point $ (a,e^a) $ ,$ y=e^a x+e^a(1-a) $
Soit $ d:x \mapsto e^x-xe^a+e^a(1-a) $
d dérivable comme somme d'exponentielle et de polynôme et $ d'(x)=e^x-e^a $
si x<a,alors d'(x)<0,donc d est décroissante quand x<a
si x>a,alors d'(x)>0,donc d est croissante quand x>a
donc d admet un minimum en a et qui vaut $ d(a)=0 $
donc les tangentes de la courbe $ \mathcal{E} $ sont toujours en dessous de celle ci
Magnéthorax a écrit :Meijnir :
SPOILER:
Qui est le $ x_m $ ou le $ m $ dont vous parlez ? Ils n'ont pas été introduits avant.
m est un entier compris entre 1 et n
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 04 juil. 2014 10:24
par Magnéthorax
Meijnir : ok pour les tangentes
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 04 juil. 2014 13:50
par Tornado
Salut,
Juste pour les tangentes c'est peut-être un peu c** ce que je vais dire mais ce n'est pas simplement un conséquence de la convexité de la fonction $ x \mapsto e^x $ ?
Et si je dis ça comme ça, il faut une preuve ou bien ça suffit ?
?