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Ok merci, j'ai toujours du mal à formaliser (penser à l'absurde peut-être une bonne idée pour plus tard).

Pour la 3, on conclut en utilisant la 1 : une infinité de $ x_ k $ est comprise entre $ a_n $ et $ b_n $ qui ont la même limite donc la suite extraite constituée de cette infinité de termes tend vers la même limite d'après le théorème des gendarmes.

Attention à la rédaction pour la 3 quand même

Ok

Je vois mal comment faire...

Enfin l'idée y est hein Mais il faut quand même construire proprement l'extraction (i.e. la suite $ (n_k) $). Pour ça, il faut traduire rigoureusement ce que veut dire la phrase "une infinité de $ x_k $ est comprise entre $ a_n $ et $ b_n $ "

Ca marche si je dis que $ n_k $ c'est le plus petit entier $ m $ non utilisé avant tel que $ x_m $ est dans $ [a_k ; b_k] $.

Comment être sûr que cet entier existe ?

On sait qu'il existe une infinité de x_k dans [a_i ; b_i] d'après la manière dont on a construit ces deux suites, donc il existe bien un plus petit k, même si on a peut-être déjà "pioché" dans cette infinité de termes des k plus petits pour construire nos n_k d'avant.

On fixe a. On pose g(x)=f(x+a)-f(x). La fonction g est continue et 1-périodique. Il existe deux images de g de signes opposés sinon f serait strictement monotone sur IR, ce qui est impossible. On conclut par le TVI.

Nice

" Il existe deux images de g de signes opposés sinon f serait strictement monotone sur IR"


C'est la difficulté de la démo si tu n'explique pas ça y'a pas de démo.