Exercices de MPSI

[Ornithorynque]

Bien sûr, mais je ne sais résoudre un polynôme du 3eme degré, à moins d'avoir une racine évidente et de factoriser mais là il n'y a qu'une racine de toute façon.

[Magnéthorax]

Ornithorynque : il y a ici quelque-chose d'important à saisir :

SPOILER:

vous n'avez pas besoin de déterminer les racines de ce polynôme, il vous suffit de montrer qu'il en possède une seule. Et pour ça, vous avez tous les outils.

[Ornithorynque]

Je vois

SPOILER:

La limite aux infinis d'un polynôme est la même que celle de son terme du plus haut degré = X^3
La limite du polynôme en- l'infini est- l'infini; et en + l'infini, +l'infini.
La dérive du polynôme est 3X^2-2X+1, son delta est négatif donc sa dérivée est strictement positive.
On en déduit que le polynôme est strictement croissant sur R. On peut donc utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Ainsi, il existe une solution z à X^3-X^2+X+1=0. Finalement il faut que e^z appartiennent à D, or e est strictement positive, et e^z différent de 1 revient à z différent de 0, ce qui est le cas car 0 ne résoud pas l'équation.
Il existe une solution.

Merci pour votre problème, et votre attention pour ma réponse; si vous en auriez d'autres...

[Cyp]

- Soit $ (u_n) $ une suite strictement croissante d'entiers. Peut-on déterminer la limite de $ (u_n) $ ?

SPOILER:

Un est majoré ou non.
Un majoré : il existe un réel a tel que pour tout n, Un < Un+1 < a. la limite est a.
Un non majorée Pour tout réel a tel qu'à partir d'un certain rang p, Up ≥ a :
Comme Un est strict. croissante, pour tout n > p ; Un > Up soit Un > a ; comme Un+1 > Un, la limite est + l'infini.

Peut-on vraiment majorer une suite strictement croissante d'entiers ?

- Si $ (|u_n|) $ converge vers a, alors $ (u_n) $ converge vers a ou -a.

SPOILER:

$ Lim |Un|= a $
si a ≥ 0, |a|= a et Lim Un = a ; si a < 0, |a| = -a et Lim Un = -a

Que dire de la suite $ (|(-1)^n|)_{n\in \mathbb{N}} $ alors ?

- Soit $ (u_n) $ une suite, telle que $ |(u_n)| $ converge, est-ce que $ (u_n) $ converge ? Si oui, quelle est la limite de $ (u_n) $ ?

SPOILER:

Si $ |Un| $converge vers a, alors $ Un $ converge vers a si a≥0 ou vers -a si a<0

Voir ci-dessus.

[Ornithorynque]

Merci Cyp pour la correction, même si mes erreur sont vraiment grosses ^^' c'est comme ça que je vais progresser.

Non je ne pense plus qu'on puisse majorer une telle suite, mais comment le rédiger proprement ?

[guidito]

Pour l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

SPOILER:

Pour le résultat préliminaire, $ f(x) $ est une somme de carrés, donc on en déduit directement que : $ \forall x \in \mathbb R, f(x) \in \mathbb{R^+} $.

On peut réécrire l’inégalité en $ \sqrt{{(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k)}^2} \le \sqrt{(\sum_{k=1}^{n} a_k^2)(\sum_{k=1}^{n} b_k^2)} $. Elle est équivalente à $ {(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k)}^2} \le {(\sum_{k=1}^{n} a_k^2)(\sum_{k=1}^{n} b_k^2)} $.

On travaille ensuite un peu sur $ f $.

$ \forall x \in \mathbb R, f(x) = \sum_{k=1}^n (a_kx + b_k)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2x^2 + 2a_k x b_k + b_k^2 $. On décompose la somme et on factorise :

$ \forall x \in \mathbb R, f(x) = x^2({\sum_{k=1}^n a_k^2}) + 2x({\sum_{k=1}^n a_kb_k}) + { \sum_{k=1}^n b_k^2 } $

On reconnait un trinôme du second degré. On a prouvé que pour tout $ x \in \mathbb R, f(x) \in \mathbb{R^+} $, donc on en déduit que son discriminant $ \Delta $ est négatif ou nul (s’il était positif, $ f $ serait négative entre ses deux racines réelles).

Or, $ \Delta = 4({\sum_{k=1}^n a_kb_k})^2 - 4({\sum_{k=1}^n a_k^2})(\sum_{k=1}^n b_k^2) $.

D’où $ 4({\sum_{k=1}^n a_kb_k})^2 - 4({\sum_{k=1}^n a_k^2})(\sum_{k=1}^n b_k^2) \le 0 $, qui équivaut à $ 4({\sum_{k=1}^n a_kb_k})^2 \le 4({\sum_{k=1}^n a_k^2})(\sum_{k=1}^n b_k^2) $.

D’où le résultat : $ ({\sum_{k=1}^n a_kb_k})^2 \le ({\sum_{k=1}^n a_k^2})(\sum_{k=1}^n b_k^2) $

[rafan]

Merci Cyp pour la correction, même si mes erreur sont vraiment grosses ^^' c'est comme ça que je vais progresser.

Non je ne pense plus qu'on puisse majorer une telle suite, mais comment le rédiger proprement ?

Que signifie: "u est une suite strictement croissante d'entiers?"

Que dire de $ u_{n+1} $ par rapport à $ u_n $? Plus généralement si n et p sont deux entiers différents tels que n>p, comment les comparer plus finement?

[Ornithorynque]

Toutes les images des termes de la suite sont entiers et pour tout n, Un+1>Un.

Leur différence ?

[Magnéthorax]

Ornithorynque : j'en ai posté pas mal dans ce fil. Faut juste les retrouver.

[Ornithorynque]

Ok