Exercices de MPSI

[guidito]

J’espère que ça convient.

SPOILER:

Notons $ f $ une telle fonction. Comme elle est continue, elle admet une primitive $ F $ sur $ ]0;+\infty[ $.

D’après l’énoncé, on a $ \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{qa}^{qb} f(x) \,\mathrm{d}x $, soit $ F(b) - F(a) = F(qb) - F(qa) $.

On peut alors choisir $ a=1 $, et il vient que $ F(b) - F(1) = F(qb) - F(q) $, relation que l’on peut réécrire en $ F(qb) = F(q) + F(b) - F(1) $.

On peut alors dériver par rapport à $ b $, il vient :

$ qf(qb) = f(b) $, ce qui équivaut à $ f(qb) = \frac{f(b)}{q} $.

En choisissant cette fois $ b=1 $, il vient que pour tout réel strictement positif $ q $, $ f(q)=\frac{f(1)}{q}. $

Tu es donc une fonction de la forme $ f(x)=\frac{k}{x} $, avec $ k $ un réel strictement positif.

[Magnéthorax]

guidito :

SPOILER:

Ok. Une remarque en passant :

relation que l’on peut réécrire en F(qb) = F(q) + F(b) - F(1).

En admettant que vous ayez pris pour$ F $ la primitive de $ f $ sur $ ]0,+\infty[ $ qui s'annule en 1, cette relation ne vous dit rien ?

[guidito]

SPOILER:

La fonction logarithme…?

[Magnéthorax]

Bonjour,

on considère la situation suivante : $ I $ étant un intervalle contenant au moins deux réels, on considère une fonction $ f $ définie sur $ I $ et à valeurs réelles. Soient $ a,b $ deux réels dans $ I $ avec $ a<b $. On note $ p $ la fonction affine prenant en $ a $ et en $ b $ les mêmes valeurs que $ f $.

On se demande quelle erreur maximale est commise quand on remplace $ f $ par $ p $ sur l'intervalle $ [a,b] $. Plus précisément, on se demande si on peut déterminer explicitement deux nombres qui encadrent $ f-p $ sur $ [a,b] $.

1. Premier exemple : $ I=\mathbb{R} $ et $ f:x\mapsto x^2 $. Soient $ a,b $ deux réels tels que $ a<b $. Démontrez qu'il existe un réel $ M $ tel que, pour tout $ x\in[a,b] $, on a : $ 0\leq p(x)-f(x)\leq M $. Précisez.

2. Deuxième exemple : $ I=]0,+\infty[ $ et $ f:x\mapsto \frac{1}{x} $. Soient $ a,b $ deux réels strictement positifs tels que $ a<b $. Démontrez qu'il existe un réel $ M $ tel que, pour tout $ x\in[a,b] $, on a : $ 0\leq p(x)-f(x)\leq M $. Précisez.

[lionel52]

Montrer que la fonction exponentielle n'est pas un polynome

[matttdu75]

Question pas vraiment MPSI mais :

Je lance une pièce 50 fois de suite. Elle tombe 50 fois sur pile. Quelle est la proba qu'elle tombe sur pile au 51e coup?

[MihoAzuki]

Bonjour,

on considère la situation suivante : $ I $ étant un intervalle contenant au moins deux réels, on considère une fonction $ f $ définie sur $ I $ et à valeurs réelles. Soient $ a,b $ deux réels dans $ I $ avec $ a<b $. On note $ p $ la fonction affine prenant en $ a $ et en $ b $ les mêmes valeurs que $ f $.

On se demande quelle erreur maximale est commise quand on remplace $ f $ par $ p $ sur l'intervalle $ [a,b] $. Plus précisément, on se demande si on peut déterminer explicitement deux nombres qui encadrent $ f-p $ sur $ [a,b] $.

1. Premier exemple : $ I=\mathbb{R} $ et $ f:x\mapsto x^2 $. Soient $ a,b $ deux réels tels que $ a<b $. Démontrez qu'il existe un réel $ M $ tel que, pour tout $ x\in[a,b] $, on a : $ 0\leq p(x)-f(x)\leq M $. Précisez.

1/

SPOILER:

Soit p(x) = mx+d, tel que p(a) = f(a) et p(b) = f(b).
Soit g(x) = p(x) - f(x)
p(x) - f(x) = -x²+mx+d
g(x) s'annule évidemment en a et en b, vu que p(a) = f(a) et que p(b) = f(b).
g(x) est maximale en c (polynôme du second degré. ), avec c = (-m)/(-2) = m/2.
On a donc:
g(c) = -(m/2)² + m(m/2) + d = (m²/4) +d
On a ainsi:
$ 0\leq p(x) - f(x) \leq (m^2/4) +d $,

Je m'occuperai du 2 plus tard.

[The TJFK]

C'est comme ça que casino fait des gains non seulement par l'espérance mais aussi par la ruine du joueur

[guidito]

1/

SPOILER:

Soit p(x) = mx+d, tel que p(a) = f(a) et p(b) = f(b).
Soit g(x) = p(x) - f(x)
p(x) - f(x) = -x²+mx+d
g(x) s'annule évidemment en a et en b, vu que p(a) = f(a) et que p(b) = f(b).
g(x) est maximale en c (polynôme du second degré. ), avec c = (-m)/(-1) = m.
On a donc:
g(c) = -m² + m² + d = d.
On a ainsi:
$ 0\leq p(x) - f(x) \leq d $, d étant l'ordonnée à l'origine de p(x).

SPOILER:

Hum, il aurait peut-être fallu trouver la valeur de d non ?

Montrer que la fonction exponentielle n'est pas un polynome

SPOILER:

Faudrait trouver un polynôme égal à sa dérivée. Il n’y a que le polynôme nul qui semble correspondre (parce que le degré diminue quand on dérive un polynôme et quand on dérive une constante on obtient 0). Or la fonction exponentielle n’est jamais nulle donc ça ne peut évidemment pas correspondre.

Bon, ça me semble un peu foireux dit comme ça. :°

[MihoAzuki]

1/

SPOILER:

Soit p(x) = mx+d, tel que p(a) = f(a) et p(b) = f(b).
Soit g(x) = p(x) - f(x)
p(x) - f(x) = -x²+mx+d
g(x) s'annule évidemment en a et en b, vu que p(a) = f(a) et que p(b) = f(b).
g(x) est maximale en c (polynôme du second degré. ), avec c = (-m)/(-2) = m/2.
On a donc:
g(c) = -(m/2)² + m(m/2) + d = (m²/4) +d
On a ainsi:
$ 0\leq p(x) - f(x) \leq (m^2/4) +d $

SPOILER:

Hum, il aurait peut-être fallu trouver la valeur de d non ?

SPOILER:

On a:
ma + d = a²
mb + d = b²
ma -mb = a² -b²
m(a-b) = (a+b)(a-b)
Vu que a =/= b
m = a+b
D'où:
(a+b)a + d = a²
d = -ab
Donc, m²/4 + d = ((a+b)² /4) -ab = (a²-2ab+b²)/4 = (a-b)²/4
Enfin, $ 0\leq p(x) - f(x) \leq (a-b)^2/4 $
(Merci, je pensais pas qu'il fallait aller jusque là. )
Edit: J'ai cliqué sur ''entrer'' trop vite, y a quelque chose de pas normal...
Edit2: Ah, j'ai repéré la faute (de frappe, j'en ai presque honte là. ), je corrige ça!
Edit3: Fixed! (Maintenant, je peux aller me flageller