Notons $ f $ une telle fonction. Comme elle est continue, elle admet une primitive $ F $ sur $ ]0;+\infty[ $.
D’après l’énoncé, on a $ \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{qa}^{qb} f(x) \,\mathrm{d}x $, soit $ F(b) - F(a) = F(qb) - F(qa) $.
On peut alors choisir $ a=1 $, et il vient que $ F(b) - F(1) = F(qb) - F(q) $, relation que l’on peut réécrire en $ F(qb) = F(q) + F(b) - F(1) $.
On peut alors dériver par rapport à $ b $, il vient :
$ qf(qb) = f(b) $, ce qui équivaut à $ f(qb) = \frac{f(b)}{q} $.
En choisissant cette fois $ b=1 $, il vient que pour tout réel strictement positif $ q $, $ f(q)=\frac{f(1)}{q}. $
Tu es donc une fonction de la forme $ f(x)=\frac{k}{x} $, avec $ k $ un réel strictement positif.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 21 avr. 2015 23:44
par Magnéthorax
guidito :
SPOILER:
Ok. Une remarque en passant :
relation que l’on peut réécrire en F(qb) = F(q) + F(b) - F(1).
En admettant que vous ayez pris pour$ F $ la primitive de $ f $ sur $ ]0,+\infty[ $ qui s'annule en 1, cette relation ne vous dit rien ?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 22 avr. 2015 00:18
par guidito
SPOILER:
La fonction logarithme…?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 10:00
par Magnéthorax
Bonjour,
on considère la situation suivante : $ I $ étant un intervalle contenant au moins deux réels, on considère une fonction $ f $ définie sur $ I $ et à valeurs réelles. Soient $ a,b $ deux réels dans $ I $ avec $ a<b $. On note $ p $ la fonction affine prenant en $ a $ et en $ b $ les mêmes valeurs que $ f $.
On se demande quelle erreur maximale est commise quand on remplace $ f $ par $ p $ sur l'intervalle $ [a,b] $. Plus précisément, on se demande si on peut déterminer explicitement deux nombres qui encadrent $ f-p $ sur $ [a,b] $.
1. Premier exemple : $ I=\mathbb{R} $ et $ f:x\mapsto x^2 $. Soient $ a,b $ deux réels tels que $ a<b $. Démontrez qu'il existe un réel $ M $ tel que, pour tout $ x\in[a,b] $, on a : $ 0\leq p(x)-f(x)\leq M $. Précisez.
2. Deuxième exemple : $ I=]0,+\infty[ $ et $ f:x\mapsto \frac{1}{x} $. Soient $ a,b $ deux réels strictement positifs tels que $ a<b $. Démontrez qu'il existe un réel $ M $ tel que, pour tout $ x\in[a,b] $, on a : $ 0\leq p(x)-f(x)\leq M $. Précisez.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 14:40
par lionel52
Montrer que la fonction exponentielle n'est pas un polynome
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 20:12
par matttdu75
Question pas vraiment MPSI mais :
Je lance une pièce 50 fois de suite. Elle tombe 50 fois sur pile. Quelle est la proba qu'elle tombe sur pile au 51e coup?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 20:12
par MihoAzuki
Magnéthorax a écrit :Bonjour,
on considère la situation suivante : $ I $ étant un intervalle contenant au moins deux réels, on considère une fonction $ f $ définie sur $ I $ et à valeurs réelles. Soient $ a,b $ deux réels dans $ I $ avec $ a<b $. On note $ p $ la fonction affine prenant en $ a $ et en $ b $ les mêmes valeurs que $ f $.
On se demande quelle erreur maximale est commise quand on remplace $ f $ par $ p $ sur l'intervalle $ [a,b] $. Plus précisément, on se demande si on peut déterminer explicitement deux nombres qui encadrent $ f-p $ sur $ [a,b] $.
1. Premier exemple : $ I=\mathbb{R} $ et $ f:x\mapsto x^2 $. Soient $ a,b $ deux réels tels que $ a<b $. Démontrez qu'il existe un réel $ M $ tel que, pour tout $ x\in[a,b] $, on a : $ 0\leq p(x)-f(x)\leq M $. Précisez.
1/
SPOILER:
Soit p(x) = mx+d, tel que p(a) = f(a) et p(b) = f(b).
Soit g(x) = p(x) - f(x)
p(x) - f(x) = -x²+mx+d
g(x) s'annule évidemment en a et en b, vu que p(a) = f(a) et que p(b) = f(b).
g(x) est maximale en c (polynôme du second degré. ), avec c = (-m)/(-2) = m/2.
On a donc:
g(c) = -(m/2)² + m(m/2) + d = (m²/4) +d
On a ainsi:
$ 0\leq p(x) - f(x) \leq (m^2/4) +d $,
Je m'occuperai du 2 plus tard.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 20:45
par The TJFK
C'est comme ça que casino fait des gains non seulement par l'espérance mais aussi par la ruine du joueur
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 20:54
par guidito
MihoAzuki a écrit :
1/
SPOILER:
Soit p(x) = mx+d, tel que p(a) = f(a) et p(b) = f(b).
Soit g(x) = p(x) - f(x)
p(x) - f(x) = -x²+mx+d
g(x) s'annule évidemment en a et en b, vu que p(a) = f(a) et que p(b) = f(b).
g(x) est maximale en c (polynôme du second degré. ), avec c = (-m)/(-1) = m.
On a donc:
g(c) = -m² + m² + d = d.
On a ainsi:
$ 0\leq p(x) - f(x) \leq d $, d étant l'ordonnée à l'origine de p(x).
SPOILER:
Hum, il aurait peut-être fallu trouver la valeur de d non ?
lionel52 a écrit :
Montrer que la fonction exponentielle n'est pas un polynome
SPOILER:
Faudrait trouver un polynôme égal à sa dérivée. Il n’y a que le polynôme nul qui semble correspondre (parce que le degré diminue quand on dérive un polynôme et quand on dérive une constante on obtient 0). Or la fonction exponentielle n’est jamais nulle donc ça ne peut évidemment pas correspondre.
Bon, ça me semble un peu foireux dit comme ça. :°
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 23 avr. 2015 21:14
par MihoAzuki
guidito a écrit :
MihoAzuki a écrit :
1/
SPOILER:
Soit p(x) = mx+d, tel que p(a) = f(a) et p(b) = f(b).
Soit g(x) = p(x) - f(x)
p(x) - f(x) = -x²+mx+d
g(x) s'annule évidemment en a et en b, vu que p(a) = f(a) et que p(b) = f(b).
g(x) est maximale en c (polynôme du second degré. ), avec c = (-m)/(-2) = m/2.
On a donc:
g(c) = -(m/2)² + m(m/2) + d = (m²/4) +d
On a ainsi:
$ 0\leq p(x) - f(x) \leq (m^2/4) +d $
SPOILER:
Hum, il aurait peut-être fallu trouver la valeur de d non ?
SPOILER:
On a:
ma + d = a²
mb + d = b²
ma -mb = a² -b²
m(a-b) = (a+b)(a-b)
Vu que a =/= b
m = a+b
D'où:
(a+b)a + d = a²
d = -ab
Donc, m²/4 + d = ((a+b)² /4) -ab = (a²-2ab+b²)/4 = (a-b)²/4
Enfin, $ 0\leq p(x) - f(x) \leq (a-b)^2/4 $
(Merci, je pensais pas qu'il fallait aller jusque là. )
Edit: J'ai cliqué sur ''entrer'' trop vite, y a quelque chose de pas normal...
Edit2: Ah, j'ai repéré la faute (de frappe, j'en ai presque honte là. ), je corrige ça!
Edit3: Fixed! (Maintenant, je peux aller me flageller
), je corrige ça!