arccos(sqrt2)/2 =arcsin (sqrt2)/2

[Ckronikks]

Oui je sais, je rigolais juste un peu. Sinon pour la définition de Arccos j'ai :$ \int_{x}^{1} (1/(1-x^2)^{1/2})dx $

[abouMPSI]

Ne serait-ce pas plus joli avec le x à la fin (à la borne finale) ?

SPOILER:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Arc_cosin ... C3.A9finie

[Ckronikks]

Chacun ses goûts :p le " -" devant l'integrale me pertube... j'ai l'impression qu'il me crie dessus pour que je le fasse disparaitre en inverssant les bornes

[Magnéthorax]

Ce devrait plutôt être :

$ \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm{arccos}(x)=-\int_1^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t=\int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t $.

Comme déjà dit, je suis un peu étonné que votre professeur vous demande de travailler avec ceci car la fonction $ t\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} $ ne se prolonge pas en une fonction continue par morceaux au segment $ [-1,1] $. Ainsi le sens que l'on donne à l'intégrale $ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}x $ (par exemple) est défini dans programme de deuxième année.

En revanche, dans le cadre du programme de première année, il est tout à fait possible de définir une fonction $ f $ sur l'intervalle ouvert $ ]-1,1[ $ par $ f : x\mapsto \int_0^x \frac{-1}{\sqrt{1-t^2}} \, \mathrm{d}t $. On a alors $ \mathrm{arccos}=f+\frac{\pi}{2} $.

Vous êtes sûr de votre coup ? Si non, demandez-lui des éclaircissements.

[JeanN]

Il reste à définir Pi...
A l'aide de la limite quand x tend vers 1 de l'intégrale de 0 à x par exemple...

[Magnéthorax]

Deux fois cette limite

Et il faudrait aussi expliquer pourquoi elle existe, ce qui est faisable en sup à condition de disposer des propriétés de $ \mathbb{R} $.

Bref, je ne suis pas certain que montrer cette égalité entre une intégrale "classique" et une intégrale généralisée

Pardon alors j'ai oublié les racines des deux cotés sur le (1-x^2)... Je l'avais sur ma feuille mais je sais pas pourquoi je l'ai pas tapé ici

Donc c'est: $ \int_{sqrt2/2}^{1} (1/(1-x^2)^{1/2})dx=\int_{0}^{sqrt2/2} (1/(1-x^2)^{1/2})dx $

soit hyper pertinent en sup. Le risque, c'est de voir les étudiants faire comme Ckronikks des changements de variable sur l'objet limite. Mais bon, encore faut-il être sûr que c'était bien l'intention du prof et qu'il réellement présenté les choses comme cela.

[Ckronikks]

Je crois qu'on avait démontré que Arccos sous forme d'intégrale existait sur [-1;1]. On faisait un chgmt de variables, pour ramener le pb en 0 et on majore par une intégrale de fct continue, positive et integrable.
Sinon pour pi, j'ai dans mon cours comme definition: $ Pi=\int_{-1}^{1} (1/(1-t^2)^{0,5})dx $

[Magnéthorax]

Un peu étonnant en ce début d'année MPSI.

[Ckronikks]

Pourquoi ? Ca se démontre comment normalement ?

[JeanN]

Souvent, ces fonctions sont présentées comme ici
http://bkristof.free.fr/coursexercices/ ... laires.pdf