Les dattes à Dattier

[bubulle]

énoncé 56 : Pause en série
Soit $ f\in C^2([0,1])\text{ tel que } f(0)=0 $. Déterminer en fonction de $ f $ la valeur de la limite de $ \sum \limits_{k=n}^{2n} f(\frac{1}{k}) $.

énoncé 57 : points variés +
Détreminer les points d'intersections des variétés :
$ V_1 : x^3+4y^3+3x^2y^2+2xy-1=0 $
$ V_2 : x^3+2y^3+3x^2y^2+4xy+1=0 $

Pour le 56 un simple développement en 0 donne une limite de ln(2)f'(0) sauf erreur.
Pour le 57, si on pose x=ay^2, on trouve nécessairement a^3=-3.
En réinjectant on trouve y^3 = 1/(1-a)

[Almar]

Salut, pour le 58 :

SPOILER:

on peut montrer que si a = bq + r (division euclidienne), alors $ 2^b + 1 $ | $ (2^a + 1) - (2^r + 1) $. Il s'agit ensuite de l'algorithme d'Euclide.

[Almar]

Oui pardon, ce que j'ai dit est vrai pour "-1" et non pas "+1". Je dirai donc que comme le coeff est impaire, on peut se ramener aux même factorisations.
(Je peux développer si nécessaire)

[oty20]

$ \textbf{énoncé 65 : }\textit{ une trace determinante :}\\ \exists f, \forall A \in M_{n,n}(\mathbb{K}), \det(A)=f(\text{trace}(A),...,\text{trace}(A^{n-1})) ? $

Pour une matrice de taille $ 2 $ , il est facile de prouver que $ 2det(A)=tr(A)^{2}-tr(A^{2}) $ , pour le cas général , $ det(A) $ , c'est le produit des valeurs propres (avec leur multiplicités) , alors que que pour tout $ m $ , $ tr(A^{m}) $ représente une somme sur les puissances $ m- $iemes des valeurs propres , donc peut calculer le produits de $ n $ nombres , a partir des sommes de leurs m-ieme puissance i,e $ tr(A),...,tr(A^{n}) $ , par exemple avec les formules de newton qui donnent des relations entres les polynômes symétriques elementaires et les sommes de puissance , Par contre c'est formule sont assez obscur je ne vais pas m'aventurer plus loin je laisse un lien pour ceux qui veulent plus de détails
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9s_de_Newton

[Siméon]

@oty20 : tu as omis le fait que Dattier s'arrête à la puissance $n-1$.

Voici une indication :

SPOILER:

Considérer $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ dont le polynôme minimal est $X^n - 1$.

P.S. La caractéristique du corps n'intervient pas dans ce problème, on peut même se placer sur un anneau qui n'est pas un corps.

[Siméon]

Salut Dattier,

Je vais bien, et toi ? Pourquoi poster le 67 après que oty20 en a donné la solution ?

[Syl20]

Salut,

$ \textbf{enonce 68 : } \textit{intervalle fixe }
\\\text{Soit une fonction f 1-lipschitz de [0,1] dans lui meme, } \{x\in [0,1]|f(x)=x)\}\text{ est-il un intervalle ? } $

Cordialement.

SPOILER:

Soient x<y deux points fixes, et $ z \in [x,y] $.
Alors $ |f(z)-x| \leq z-x $ et $ |f(z)-y| \leq y-z $, d'où $ z=f(z) $
L'ensemble en question est donc une partie convexe de R, donc un intervalle.

[Siméon]

Non, je parlais du 65.

[oty20]

oui le 65 n'est toujours pas résolu , les formules de newtons ne suffisent pas comme cela a été signalé par Mr Siméon (Merci ) , la question s’arrête a tra(A^{n-1}) seulement (je viens de le remarquer )

[Siméon]

Voici la solution du 65 histoire de dissiper les malentendus :

SPOILER:

Soit $A$ la matrice telle que pour tout $(i,j) \in [\![1,n]\!]^2$ : $A_{i,j} = 1$ si et $i \equiv j + 1 \, [n]$ et $A_{i,j} = 0$ sinon. Après calcul (facile) des puissances de $A$, on obtient $A^n = I_n$ (de sorte que $\det(A)^n = 1$) et $\mathrm{Tr}(A^{k}) = 0$ pour tout $k \in [\![1,n-1]\!]$. En prenant $B$ la matrice nulle, on obtient $\det(B)=0$ et $\mathrm{Tr}(B^{k}) = 0$ pour tout $k \in [\![1,n-1]\!]$. La réponse à la question de Dattier est donc "non" dans tout anneau tel que $0 \neq 1$.

Exercice : déduire de ce qui précède la valeur de $\displaystyle \sum_{r=1}^{n} (\exp(\frac{2i\pi r}n))^k$ en fonction de $k$.