Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Zehir]

@Ali-H
- Que se passe t-il entre les lignes 3 et 4 ?
- il y a moyen d'obtenir les solutions sous des formes plus simples, tout en se faisant moins mal

[Chronoxx]

@Ali-H

Il manque une solution ^^

J'aurais fait quelque chose comme ça :

SPOILER:

Soit $ p $ dans $ \mathbb R $.

$ (z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow (z-i)^4 + (p(z + i))^2(z-i)^2 = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2((z-i)^2 - (ip(z+i))^2) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2(z-i-ipz+p)(z-i+ipz-p) = 0 $
$ \Leftrightarrow (z-i)^2(z(1-ip)-i+p)(z(1+ip)-i-p) = 0 $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = \displaystyle\frac{i-p}{1-ip} $ ou $ z = \displaystyle\frac{i+p}{1+ip} $
$ \Leftrightarrow z = i $ ou $ z = -\displaystyle\frac{2p}{1+p^2} + i \displaystyle\frac{1-p^2}{1+p^2} $ ou $ z = \displaystyle\frac{2p}{1+p^2} + i \displaystyle\frac{1-p^2}{1+p^2} $

[Chronoxx]

Petit exercice court :

Exercice 8

Soit $ f $ une fonction définie et continue sur $ \mathbb R $.
Pour $ a $ dans $ \mathbb R $, on considère la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb R \setminus \big\{0\big\} $ par $ g(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \displaystyle\int_a^{a+x} f(t)dt $

Déterminer $ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} g(x) $.

[Preparca]

Solution 8

SPOILER:

$ f $ étant continue et définie sur $ \mathbb R $, elle admet une primitive qu'on notera $ F $.
Ainsi, on a sur $ \mathbb R \setminus \big\{0\big\} $, $ g(x) = \displaystyle\frac{F(a+x) - F(a)}{x} $

Alors, par définition de la dérivée en utilisant le taux d'accroissement, on a $ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} g(x) = f(a) $

[Preparca]

Un petit exercice d'arithmétique pour les spé maths

Exercice 9

Soient $ m $ et $ n $ des nombres naturels non nuls tels que $ mn+1 $ est divisible par 24. Montrer que $ m+n $ est divisible par 24 également.

[Errys]

Solution exercice 9 :

SPOILER:

On a $ mn\equiv -1\pmod{24} $. Donc $ m(-n)\equiv 1\pmod{24} $.
Ainsi, il existe un entier k tel que $ m(-n) - 24k = 1 $ donc m et 24 sont premier entre eux. Cela implique que 3 et 2 ne divisent pas m.
De plus, $ m+n\equiv m(-n)\times m + n\pmod{24} $ d'où :
$$ m+n\equiv -n(m^2-1)\equiv -n(m-1)(m+1)\pmod{24} $$
3 ne divise pas m donc $ 3|m+1 $ ou $ 3|m-1 $. Donc $ 3|-n(m-1)(m+1) $. De plus, m-1 et m+1 sont deux entiers pairs consécutifs donc un est divisible par 4 et l'autre par 2. D'où 8|-n(m-1)(m+1).

Ainsi, comme 3 et 8 divisent -n(m+1)(m-1), 24 divise aussi -n(m+1)(m-1) et donc 24|m+n.

[Ali-H]

'

[Preparca]

@Ali-H

On sait que $ m $ est impair donc $ m-1 $ et $ m+1 $ sont des entiers pairs consécutifs.
Donc un des deux est divisible par 4 et l'autre par 2, donc le produit $ (m-1)(m+1) $ est divisible par 8

[Errys]

J'ai oublié de préciser que m est impair ^^
Sinon, si 2|a et 4| b alors 2*4|ab, parce que a =2k et b=4j donc a*b = 8*kj.

Qu'est-ce qui te bloque sur les autres solutions ? Normalement il n'y a pas de HP.

[Chronoxx]

Solution exo 9

SPOILER:

Soient $ m $ et $ n $ deux entiers naturels non nuls et $ a $ dans $ \mathbb Z^{*} $ tel que $ m+n\equiv a [24] $. On a donc :

$ n(m+n) \equiv an [24] \Rightarrow mn + 1 \equiv -n^{2} + an +1 [24] $
En posant $ b =-n^{2} + an +1 $, $ mn + 1 \equiv b [24] $ $ \;\;(1) $

- Démontrons que pour tout $ q $ dans $ \mathbb Z^{*} $, $ \sqrt{q^2 + 4} $ n'est pas un entier.
Raisonnons par l'absurde et supposons que pour $ q $ dans $ \mathbb R^{*} $, $ \sqrt{q^2 + 4} = k $ où $ k $ est un entier naturel non nul. On obtient ainsi :
$ q^2 + 4 = k^2 \Leftrightarrow (q+k)(q-k) = -4 $
Or $ k $ est strictement positif d'où a fortiori :
$ \displaystyle\begin{cases}q-k=-2\\q+k=2\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\begin{cases}q = 0\\k=2\end{cases} $. Contradiction car $ q ≠ 0 $

Il en résulte que pour tout $ a $ dans $ \mathbb Z^{*} $, $ \sqrt{a^2 + 4} $ n'est pas un entier.

- On considère le polynôme $ P $ défini sur $ \mathbb R^{*}_{+} $ par $ P : x \in \mathbb R^{*}_{+} \mapsto -x^2 + ax + 1 $
Son discriminant $ \Delta = a^2 + 4 > 0 $ donc $ P $ a deux racines réelles :
$ x_1 = \displaystyle\frac{a-\sqrt{a^2 + 4}}{2} $ et $ x_2 = \displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2 + 4}}{2} $
D'après ce qui précède, $ x_1 $ et $ x_2 $ ne sont pas des entiers.

Autrement dit pour tout $ i $ dans $ \mathbb N^{*} $, $ -i^2 + ai + 1 ≠ 0 $ donc $ b=-n^2 + an + 1 ≠ 0 $

- D'après $ (1) $, $ (m+n \not\equiv 0[24] \Rightarrow mn + 1 \not\equiv 0[24]) \Leftrightarrow (mn + 1 \equiv 0[24] \Rightarrow m+n \equiv 0[24]) $

PS : J'ai fait quelque chose de compliqué mais normalement, ça passe ^^ (pas mal de rédaction inutile je pense)

EDIT : Correction $ \mathbb R^{*} $ en $ \mathbb Z^{*} $