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$ $Il y a deux types d'activités mathématiques :

1/ Les maths (lambda) que tout le monde connaît, comme celle que l'on fait en prépa

2/ Les maths (alpha) qui sont peu connues, et consistent à donner un sens formel à des choses qui n'en ont pas encore...

En faisant ce genre d'exos on se prépare à la pratique des maths alpha.


Ceci étant dit je vais introduire des défintions qui vont permettre de répondre à cette question.


Le but est de faire ce que la topologie générale à fait pour le continue, mais dans le domaine de l'algébre.



Définition 1 : $(S,T)$ est une structure si $T \subset P(S)$, $S\in T$ et $T$ stable par intersection quelconque.

Definition 2 : Soit $U \subset S$, $T(U)=\bigcap \limits_{F \in T,U \subset F} F$.


Definition 3 : $L \subset S$ iest libre si $\forall l \in L, l\notin T(L-\{ l \})$.

Definition 4 : Soit $A \in T$. $\dim_{+}(A)=\sup\{ card(V) \mid V \subset A, V \text{ est libre}\}$.

Definition 5 : Soit $A \in T$. $\dim_{-}(A)=\inf\{card(G)\mid G \subset A, T(G)=A\}$.

Definition 6 : $A \in T$ a une dimension finie, si $\dim_+(A)=\dim_-(A)=\dim(A) \in\mathbb N$.

Definition 7 : $(S,T)$ est une structure régulière, si $(S,T)$ est une structure et $$\forall F \subset S, F \text{ libre },a\in S,a\notin T(F), \text{ then } F \cup \{a\} \text{ est libre} $$.

Theorem 1 : Soit $(S, T) $ une structure alors $\forall A \in T$, $\dim_+(A) \geq \dim_-(A)$.

Theorem 2 : Soit $(S,T)$ une structure régulière et $S$ avec une dimension finie. Alors
\begin{gather*}
\forall A \in T, A \text{ has a finite dimension} \\
\forall (A, B) \in T^2, A\subset B, \dim(A)=\dim(B), \text{ then } A=B.
\end{gather*}


PS : il m'a fallut du temps pour trouver les bonnes définitions...

Quelques exos pour manipuler les concepts :

A) Déterminer dim+(Z),dim-(Z),dim+(Z/nZ), dim-(Z/nZ)

B) Soit R munit de la strucutre des fermés.
1) Déterminer $dim(R) $
2) Déterminer $S$ fermé tel que $card(S) =card(\mathbb R) $ et $S$ possède une base : une famille libre et génératrice.

Soit $ X $ une variables aléatoire qui suit la loi uniforme discrète sur $ \{-1,0,1\} $ et $ Y=X^2 $. On a $ \mathbb{P}(X=1,Y=1)=\mathbb{P}(X=1,X^2=1)=\mathbb{P}(X=1)=\frac 13 $. Remarquons que $ Y=X^2 $ suit Bernoulli de paramètre $ \frac 23 $, donc $ \mathbb{P}(X=1).\mathbb{P}(Y=1)=\frac 13.\frac 23=\frac 29 $, donc $ X $ et $ Y $ ne sont pas indépendantes.
Par ailleurs, $ \text{cov}(X,Y)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X^3)=0 $ , puisque $ X=X^3 $ et $ \mathbb{E}(X)=0. $

CNS(E) : Pour toute suite $ (E_i)_i$ de sev de E tel que $\forall i \in \mathbb N, E_{i} \subset E_{i+1}$, alors cette suite est constante à partir d'un certain rang.

Je rends publique cette astuce car, elle peut être utile pour les concours.

En résolvant le système comme $x$ la racine d'un polynôme de deg 2 :

$x=\frac{1}{2}\left(-y^2\pm \sqrt{y^4-4y-12}\right)$

Pour que $x$ soit entier il faut que $y^4-4y-12$ soit un carré d'entier.

C'est à dire résoudre le système $z^2=y^4-4y-12$ c'est à dire $A=(y^2-z)(y^2+z)=4y+12$

1) Si $A \neq 0$ alors $(y^2\pm z) | 4y+12 $ donc $|y^2\pm z| \leq |4y+12| $ donc $|y^2| \leq |4y+12|$

donc $|y|^2\leq 4|y|+12$ donc $|y| \leq 6$

On essaie les valeurs $y \in [-6,6] \cap \mathbb Z$ on trouve $W=\{(0,-3),(-9,-3)\}$

2) Pour $A=0$ on re-tombe sur $W$

Donc les solutions sont l'ensemble : $W$

C'est de la pure sérendipité.

En cherchant d'autres problèmes, à force de chercher, on tombe sur des solutions élégantes mais qui, la plus part du temps, ne marchent pas pour le problème que vous essayer de résoudre, mais c'est pas grave car il existe un problème auquel répond votre trouvaille astucieuse.

Ce que je fait, c'est juste habillé d'un énoncé cette trouvaille astucieuse...

Donc inutile de chercher à tomber dessus en cherchant à tomber dessus, c'est quasiment impossible.

Quand vous êtes en exos à durée limitée, il faut chercher à ré-utiliser les astuces sur lesquels vous êtes tombés dans le cadre d'autres recherches.


Bonne recherche.

Qu'est ce que l'innovation ?

C'est quand 2 devient 3 ou quatre ou cinq...

Qu'est-ce que la créativité ?

C'est quand un devient 1 puis 2.

Voilà une vidéo à regarder pour comprendre mes propos :

https://www.youtube.com/watch?v=GiCfw6AL0cM

Quand y a-t-il création ?

C'est quand on se rend compte que le rectangle est colorié avec 1 couleur, et que donc on pourrait le colorier avec 2 (un damier).

Quand y-a-t-il innovation ?

C'est quand on se rend compte : on a utilisé 2 couleurs, mais on pourrait en utiliser 3*.

* : cela répond à ce problème

viewtopic.php?t=35823&start=3430#p1045989

Si l'astuce était inée, alors les gens nés astucieux des forums aops ou mathoverflow aurait plié, l'équation fonctionnelle en quelques heures, ce qui n'est pas le cas.

https://mathoverflow.net/questions/4555 ... omposition
https://artofproblemsolving.com/communi ... l_equation

Cette énigme est dure à plier, car elle est basée sur des outils (peu connu) que j'ai construit au cours de mes recherches.

Donc si vous voulez être astucieux (résoudre des problèmes que personne n'a résolu avant vous), il suffit de vous construire des outils inédits (que personne ne posséde encore).

Les énigmes que je propose, sont là pour stimuler votre curiosité, et mettre au point des outils qui ne marcheront peut être pas pour le problème que vous essayer de résoudre mais qui marchera pour d'autres, pour lesquels personne n'avait pour l'instant de réponse.

Alors continuez, à accumuler de nouveaux outils, jusqu'à ce qu'un problème non résolu, soit à la porté de vos outils.



Bonne recherche.

Au jour d'aujourd'hui (une semaine aprés), personne sur aops ou mathoverflow n'a résolut cette énigme :

https://mathoverflow.net/questions/4555 ... omposition
https://artofproblemsolving.com/communi ... l_equation

Voilà la solution, l'ingrédient principal 6), je l'avais déjà rendu publique

0) Supposons que $f \in C^\infty (\mathbb R)$ solution de $Eq$.

1) On a $g \circ f=id$ donc $f$ est injective continue donc strictement monotone.

2) $f$ ne peut-être strictement croissante, sinon par compostion et addition de fonction strictement croissante, la fonction constante égale à zéro serait aussi strictement croissante.

3) Les solutions de $Eq$ sont donc strictement décroissante donc posséde un point fixe, en utilisant la continuité.

4) Le point fixe ne pourrait-etre que $0$.

5) De plus $Eq$ n'a pas de solutions linéaires donc $P(x)=\sum \limits_{k=0}^n a_kx^k$ n'a pas de racines réelles.

6)Si $h,g$ dérivable en $a$ avec un point fixe en $a$ alors $(h\circ g)'(a)=h'(a)\times g'(a)$

7) En utilisant le point $6$ et en dérivant $Eq$ en $0$, on obtiendrait que $f'(0)$ est racine réelle de $P(x)$ ce qui n'est pas possible, en utilisant le 5).

Donc Eq ne peut pas avoir de solution.

Vous saurez que vous avez réussi, lorsqu'avec la trouvaille astucieuse inspiré par la datte, vous êtes en mesure de résoudre un énoncé équivalent, qui n'est pas du tout évident à résoudre pour d'autres que vous, sans être équipé de votre trouvaille.