Exercices de MPSI

[Moicoucou]

Théorème des tiroirs

classique aux olympiades

[guidito]

Je suis curieux de savoir comme tu fais avec le principe des tiroirs ici ?

!summon symétrie

PS : et je suis pas certain que même dans le lycée de Velox75, on l’apprenne aux secondes…

[Magnéthorax]

MihoAzuki :

SPOILER:

ça roule, mais il aurait peut-être été plus simple de commencer par exprimer $ p $ à l'aide de $ a $ et $ b $ pour arriver à ce résultat.

[Kuroshitsu]

Je viens de découvrir ce topic, très utile pour se préparer à l'année prochaine sans pour autant s'avancer sur le programme !
Les prepas envoient souvent des exos à faire pendant les vacances aussi ?

Bon je sais pas si il a déjà été proposé, il est pas trop difficile : Trouver la plus grande valeur de

[guidito]

J’essaye.

SPOILER:

On cherche $ k = \sqrt[n] n $ maximal.
Donc on a $ k^n = n $ et ainsi $ n\ln k = \ln n $. Finalement, $ \ln k = \frac{\ln n}{n} $. Quand $ \ln k $ est maximal, $ k $ est maximal.

On étudie la fonction définie sur $ \mathbb R^{\star}_{+} $, par $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $.

On trouve comme dérivée $ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $ et donc $ f $ est croissante sur $ ]0;e] $ et décroissante sur $ [e;+\infty[ $.

Ainsi le maximum de $ f $ est atteint en $ e $. Or $ 2 \leq e \leq 3 $. $ \frac{\ln 2}{2} = 0,34... $ et $ \frac{\ln 3}{3} = 0,36... $

Donc $ k = \sqrt[3] 3 $.

[Kuroshitsu]

Le résultat est le bon

[MihoAzuki]

Bonjour!

Soit n dans IN.

Calculer la limite lorsque a tend vers +oo de l'intégrale de 0 à a de t^n exp (-t)

Indication (à ne regarder qu'après avoir bien cherché):

SPOILER:

Intégrer par parties

SPOILER:

Premièrement, j'ai crée la fonction
$ f_{k} (t)= \frac{n!}{(n-k)!} t^{n-k} e^{-t} $
En dérivant:
$ (f_{k} (t) )' = f_{k+1} (t) - f_{k} (t) $
d'où
$ f_{k} (t) =f_{k+1} (t) - (f_{k} (t) )' $
$ \displaystyle \int_{0}^{a} f_{k} (t) dt = \int_{0}^{a} f_{k+1} (t)dt - [f_{k} (t)]_{0} ^{a} $
On pourra donc dire que:
$ \displaystyle \int_{0}^{a} f_{k} (t) dt = \int_{0}^{a} f_{k+q} (t)dt -\sum_{i=0}^{q-1} [f_{k+i} (t)]_{0} ^{a} $
(Pour ce passage, je sais pas si il faut justifier quelque chose, parce que ça paraît quand même évident, non? Sinon, on pourrait le faire par récurrence par rapport à q? ''supposons qu'à un q fixé, nous avons ça, alors.. ''? )

Ou encore, pour k = 0 et q = n
$ \displaystyle \int_{0}^{a} f_{0} (t) dt = \int_{0}^{a} f_{n} (t)dt - \sum_{i=0}^{n-1} [f_{i} (t)]_{0} ^{a} $
Ainsi, $ \displaystyle \int_{0}^{a} t^{n} e^{-t} dt = [(n!)(-e^{-t})]_{0}^{a} - \sum_{i=0}^{n-1} [f_{i} (t)]_{0} ^{a} $
Vu que peu importe i appartenant à IN, lim f_{i} (t) en +oo = 0, et peu importe i différent de n, f_{i} (0) = 0, on aura pour résultat que la limite de cette intégrale lorsque a tend vers l'infini = n! (Ce qui serait incroyablement long à écrire en Latex, et illisible sinon, donc je justifierai pas ça, vous m'en voudrez pas. ça reste que du calcul)

[Magnéthorax]

Kuroshitsu : comme vous flirtez avec le HP (je vais en faire bondir quelques-uns), je me permets deux petites questions qui sont deux exercices résolubles avec les outils du lycée :

1. Comment définiriez-vous précisément, pour $ x $ réel et $ n $ entier naturel, le réel $ \sqrt[n\,]{x} $ sans utiliser un logarithme ou une exponentielle ? Remarque : une réponse complète doit inclure les éventuelles restrictions liées à cette définition.

2. Démontrez que lorsque $ \sqrt[n\,]{x} $ est bien défini au sens de la question 1, on a alors $ \sqrt[n\,]{x}=\mathrm{e}^{\frac{1}{n}\ln(x)} $.

[Ornithorynque]

Bonjour,

SPOILER:

Pour tout réel x strictement positif, on calcule x à la puissance 1/n ; n est donc un entier naturel non nul.
$ x^(1/n) = e^ ln(x)^(1/n) = e^ (1/n)ln(x) $ avec la propriété du logarithme.

[Kuroshitsu]

SPOILER:

J'avoue que c'est la première fois que j'ai affaire à ce type de question, je sais pas si j'ai brassé du vent ou si j'y ai réellement répondu du coup (ça aura au moins eu le mérite de m'entraîner à manipuler le LaTeX) :

1. $ \sqrt[n]{x} $ est le réel $ \[k\] $ vérifiant la relation $ \[k^{n}=x\] $

Étudions les cas où $ \[n\] $ est pair et $ \[n\] $ est impair :

Si $ \[n\] $ est pair, alors $ \forall x\in \left ] -\infty ; 0 \right [ $, $ \[k^{n}=x\] $ n'a aucune solution. En effet, si $ \[n\] $ est pair, $ \[k^{n}\] $ est nécessairement positif alors que $ \[x\] $ est négatif. Si $ \[n\] $ est pair, $ \sqrt[n]{x} $ n'est donc définie que sur $ \left ] 0 ; +\infty \right [ $.

Si $ \[n\] $ est impair, alors $ \forall x\in \left ] -\infty ; 0 \right [\cap \left ] 0 ; +\infty \right [ $, $ \[k^{n}=x\] $ possède une solution. En effet, si $ \[n\] $ est impair, $ \[k^{n}\] $ est de même signe et de même valeur absolue que $ \[x\] $. Si $ \[n\] $ est impair, $ \sqrt[n]{x} $ est donc définie sur $ \forall x\in \left ] -\infty ; 0 \right [\cap \left ] 0 ; +\infty \right [ $.

De manière générale, $ \sqrt[n]{x} $ est le réel k défini sur $ \forall n\in \mathbb{N} $* et $ \forall x\in \mathbb{R} $*+ vérifiant la relation $ \[k^{n}=x\] $.
De plus, on remarque que comme $ \[x> 0\] $ et $ \[n> 0\] $, si $ \[k^{n}=x\] $, alors $ \[k=x^{1/n}\] $.

2. Comme défini dans la précédente question, $ \forall n\in \mathbb{N} $* et $ \forall x\in \mathbb{R} $*+, $ \sqrt[n]{x} $ est le réel k vérifiant $ \[k=x^{1/n}\] $. $ \[x> 0\] $ et $ \[n> 0\] $, donc $ \[x^{1/n}\] $ et $ \[ln(x)\] $ sont définis. D'après les propriété du log et de l'exponentielle, on a donc:

$ x^{1/n}=e^{ln(x^{1/n})}=e\tfrac{ln(x)}{n} $