Kuroshitsu : il y a des choses bien et d'autres moins. En particulier, il manque un argument clef. Reprenons doucement, soyons précis et n'abusons pas des symboles.
Première question : soit $ n $ un entier naturel non nul. Décrivez les variations sur $ \mathbb{R} $ de la fonction $ x\mapsto x^n $ et précisez ses limites en $ +\infty $ et en $ -\infty $. C'est une fonction usuelle : une réponse courte et précise est attendue (pas de justification).
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Si n est pair : la fonction est décroissante en $ \left ] -\infty; 0 \right ] $ puis croissante en $ \left [ 0; +\infty \right ] $. La limite en $ \[-\infty\] $ tout comme en $ \[+\infty\] $ est $ \[+\infty\] $.
Si n est impair : la fonction est croissante sur $ \[\mathbb{R}\] $. La limite en $ \[-\infty\] $ est $ \[-\infty\] $ et la limite en $ \[+\infty\] $ est $ \[+\infty\] $.
(Etudier $ \[x \mapsto x^n\] $ permettra de justifier certaines étapes de ma réponse ? Comme l'ensemble de définition selon les valeurs de n de racine n-ième de x ?)
Si n est impair : la fonction est croissante sur $ \[\mathbb{R}\] $. La limite en $ \[-\infty\] $ est $ \[-\infty\] $ et la limite en $ \[+\infty\] $ est $ \[+\infty\] $.
(Etudier $ \[x \mapsto x^n\] $ permettra de justifier certaines étapes de ma réponse ? Comme l'ensemble de définition selon les valeurs de n de racine n-ième de x ?)
Dernière modification par Kuroshitsu le 29 avr. 2015 15:54, modifié 2 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ornithorynque : et c'est quoi $ x^\frac{1}{n} $ ? Parce que c'est justement ce que je demande à la première question...
Etant donnée la manière dont j'ai rédigé l'énoncé, la question 2 doit être traitée à la lumière de la réponse apportée à la 1. Comme la 1. n'a pas encore reçu de réponse satisfaisante, ce n'est pas la peine d'aller plus loin.
Etant donnée la manière dont j'ai rédigé l'énoncé, la question 2 doit être traitée à la lumière de la réponse apportée à la 1. Comme la 1. n'a pas encore reçu de réponse satisfaisante, ce n'est pas la peine d'aller plus loin.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
ok
Question 2 : dans le cas où l'entier naturel $ n $ est impair, démontrez que pour tout réel $ k $ l'équation $ x^n =k $ possède une unique solution $ x\in\mathbb{R} $ qui a le même signe que $ k $. Là, des justifications s'imposent.
Question 2 : dans le cas où l'entier naturel $ n $ est impair, démontrez que pour tout réel $ k $ l'équation $ x^n =k $ possède une unique solution $ x\in\mathbb{R} $ qui a le même signe que $ k $. Là, des justifications s'imposent.
Oui(Etudier \[x \mapsto x^n\] permettra de justifier certaines étapes de ma réponse ?
Dernière modification par Magnéthorax le 29 avr. 2015 17:59, modifié 1 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
$ \[n\] $ est impair.
La fonction est continue sur $ \[\mathbb{R}\] $, admet $ \[-\infty\] $ pour limite en $ \[-\infty\] $, et $ \[+\infty\] $ pour limite en $ \[+\infty\] $. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $ \[x^{n} = k\] $ admet donc au moins une solution sur $ \[\mathbb{R}\] $.
De plus, la fonction étant strictement croissante sur cet intervalle, l'équation $ \[x^{n} = k\] $ admet une unique solution sur $ \[\mathbb{R}\] $.
NB : J'ai un doute, si une fonction est continue, admet $ \[-\infty\] $ pour limite en $ \[-\infty\] $, et $ \[+\infty\] $ pour limite en $ \[+\infty\] $, peut-on affirmer qu'elle prend toutes les valeurs de l'intervalle $ \[\left ] -\infty;+\infty \right [\] $ ?
La fonction est continue sur $ \[\mathbb{R}\] $, admet $ \[-\infty\] $ pour limite en $ \[-\infty\] $, et $ \[+\infty\] $ pour limite en $ \[+\infty\] $. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $ \[x^{n} = k\] $ admet donc au moins une solution sur $ \[\mathbb{R}\] $.
De plus, la fonction étant strictement croissante sur cet intervalle, l'équation $ \[x^{n} = k\] $ admet une unique solution sur $ \[\mathbb{R}\] $.
NB : J'ai un doute, si une fonction est continue, admet $ \[-\infty\] $ pour limite en $ \[-\infty\] $, et $ \[+\infty\] $ pour limite en $ \[+\infty\] $, peut-on affirmer qu'elle prend toutes les valeurs de l'intervalle $ \[\left ] -\infty;+\infty \right [\] $ ?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ok, voilà l'argument d'analyse important qui faisait défaut dans votre première réponse. Pour votre NB, la réponse est oui et vous pouvez le démontrer.
Question 3 : dans le cas où l'entier $ n $ est pair, démontrez que pour réel $ k>0 $ l'équation $ x^n=k $ possède exactement deux solutions dans $ \mathbb{R} $, l'une strictement négative et l'autre strictement positive.
Question 3 : dans le cas où l'entier $ n $ est pair, démontrez que pour réel $ k>0 $ l'équation $ x^n=k $ possède exactement deux solutions dans $ \mathbb{R} $, l'une strictement négative et l'autre strictement positive.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Sur l'intervalle $ \[\left ] -\infty;0 \right ]\] $, la fonction est continue et comme $ \[\lim_{x \to -\infty}x^{n}=+\infty\] $ et $ \[0^{n}=0\] $, la fonction prend toutes les valeurs de l'intervalle $ \[\left [ 0;+\infty \right ]\] $. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $ \[x^{n}=k\] $ pour tout réel $ \[k> 0\] $ admet donc au moins une solution. De plus, la fonction est strictement croissante sur cet intervalle, donc l’équation $ \[x^{n}=k\] $ admet une unique solution.
$ \[0^{n}=0\] $ et $ \[k> 0\] $, donc cette solution ne peut pas être 0. L’équation $ \[x^{n}=k\] $ admet donc une unique solution strictement négative sur $ \[\left ] -\infty;0 \right ]\] $.
On démontre par un raisonnement analogue que l’équation $ \[x^{n}=k\] $ admet donc une unique solution strictement positive sur $ \[\left ] 0;+\infty \right ]\] $.
L’équation $ \[x^{n}=k\] $ possède donc exactement deux solutions dans $ \[\mathbb{R}\] $, l'une strictement positive et l'autre strictement négative.
$ \[0^{n}=0\] $ et $ \[k> 0\] $, donc cette solution ne peut pas être 0. L’équation $ \[x^{n}=k\] $ admet donc une unique solution strictement négative sur $ \[\left ] -\infty;0 \right ]\] $.
On démontre par un raisonnement analogue que l’équation $ \[x^{n}=k\] $ admet donc une unique solution strictement positive sur $ \[\left ] 0;+\infty \right ]\] $.
L’équation $ \[x^{n}=k\] $ possède donc exactement deux solutions dans $ \[\mathbb{R}\] $, l'une strictement positive et l'autre strictement négative.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Question 4: en utilisant ce qui précède, démontrez que pour tout entier naturel $ n\geq 1 $ et pour tout réel $ k>0 $, l'équation $ x^n=k $ possède une unique solution strictement positive.
Autrement dit, on a obtenu : pour tout entier naturel $ n\geq 1 $ et pour tout réel $ k>0 $, il existe un unique réel $ x $ strictement positif tel que $ x^n=k $. C'est ce réel précis que l'on note $ k^{\frac{1}{n}} $ ou bien $ \sqrt[n\,]{k} $.
Question 5 : démontrez que lorsque $ k $ est un réel strictement positif et $ n $ un entier naturel $ \geq 1 $, on a $ k^{\frac{1}{n}}=\mathrm{e}^{\frac{\ln k}{n}} $.
Autrement dit, on a obtenu : pour tout entier naturel $ n\geq 1 $ et pour tout réel $ k>0 $, il existe un unique réel $ x $ strictement positif tel que $ x^n=k $. C'est ce réel précis que l'on note $ k^{\frac{1}{n}} $ ou bien $ \sqrt[n\,]{k} $.
Question 5 : démontrez que lorsque $ k $ est un réel strictement positif et $ n $ un entier naturel $ \geq 1 $, on a $ k^{\frac{1}{n}}=\mathrm{e}^{\frac{\ln k}{n}} $.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Soit un réel $ \[k> 0\] $.
Pour tout entier naturel $ \[n\geq 1\] $ pair, l'équation $ \[x^{n}=k\] $ admet exactement deux solutions sur $ \[\mathbb{R}\] $ : l'une strictement positive et l'autre strictement négative.
Pour tout entier naturel $ \[n\geq 1\] $ impair, l'équation admet une unique solution sur $ \[\mathbb{R}\] $. Comme $ \[n\] $ est impair, $ \[x^{n}\] $ est du signe de $ \[x\] $, donc comme $ \[k> 0\] $ l'unique solution de $ \[x^{n}=k\] $ est strictement positive.
Pour tout entier naturel $ \[n\geq 1\] $ et pour tout réel $ \[k> 0\] $, l'équation $ \[x^{n}=k\] $ admet donc une unique solution strictement positive, que l'on peut noter $ \[\sqrt[n]{k}\] $ ou $ \[k\tfrac{1}{n}\] $.
On a démontré que cette solution est strictement positive, donc $ \[ln(k^{1/n})\] $ est défini. D'où l'égalité $ \[k^{1/n}=e^{ln(k^{1/n})}=e\tfrac{ln(k)}{n}\] $ d'après les propriété du logarithme népérien et de l'exponentielle.
Pour tout entier naturel $ \[n\geq 1\] $ pair, l'équation $ \[x^{n}=k\] $ admet exactement deux solutions sur $ \[\mathbb{R}\] $ : l'une strictement positive et l'autre strictement négative.
Pour tout entier naturel $ \[n\geq 1\] $ impair, l'équation admet une unique solution sur $ \[\mathbb{R}\] $. Comme $ \[n\] $ est impair, $ \[x^{n}\] $ est du signe de $ \[x\] $, donc comme $ \[k> 0\] $ l'unique solution de $ \[x^{n}=k\] $ est strictement positive.
Pour tout entier naturel $ \[n\geq 1\] $ et pour tout réel $ \[k> 0\] $, l'équation $ \[x^{n}=k\] $ admet donc une unique solution strictement positive, que l'on peut noter $ \[\sqrt[n]{k}\] $ ou $ \[k\tfrac{1}{n}\] $.
On a démontré que cette solution est strictement positive, donc $ \[ln(k^{1/n})\] $ est défini. D'où l'égalité $ \[k^{1/n}=e^{ln(k^{1/n})}=e\tfrac{ln(k)}{n}\] $ d'après les propriété du logarithme népérien et de l'exponentielle.
Dernière modification par Kuroshitsu le 29 avr. 2015 20:00, modifié 2 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Kuroshitsu a écrit : On a démontré que cette solution est strictement positive, donc $ \[ln(k\tfrac{1}{n})\] $ est défini. D'où l'égalité $ k^{1/n}=e^{ln(k\tfrac{1}{n})}=e\tfrac{ln(k)}{n} $ d'après les propriété du logarithme népérien et de l'exponentielle.
J'ai lu que cette partie et je trouve ça peu convaincant.
C'est une fiotte.