Exos sympas MP(*)

[Siegfried]

Exercice 427.4
Soient $ E $ un e.v.n. et $ K \subset E $ une partie compacte et non vide munie d'une loi de composition interne associative $ (x,y) \mapsto x \star y $ qui est continue en tant que fonction de $ K^2 $ vers $ K $.
Montrer qu'il existe $ a \in K $ tel que $ a \star a = a $.

On prend $ C $ la collection de sous ensemble de $ K $ compacts non vide $ S $ tels que $ S^2\subset S $, on a $ K $ dans C donc la collection est non vide, c'est un ensemble inductif, en appliquant le lemme de Zorn* on l'existence d'un élément minimal noté $ M\in C $. On remarque ensuite que si on prend un élément $ a\in M $ alors $ aM $ est un compact non vide tel que $ aM\in C $ et $ aM\subset M $, la minimalité de $ M $ donne $ aM=M $, en particulier $ a\in M $. On considère ensuite l'ensemble $ M'=\{m: m\in M \mbox{et} am=a\} $, on remarque (pas difficile, je finirai ,si besoin, demain car là je suis fatigué) c'est un compact de $ M $ et que $ M'^2\subset M' $, donc $ M'=M $, donc $ a\in M' $. (Pour faire "beau" on pourrait parler d'action de groupe ici)



*https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Zorn

[darklol]

Un peu pompeux d'utiliser le terme "collection" pour désigner un ensemble, on préfère garder ce terme quand on manipule des classes d'objets qui ne forment pas un ensemble, ou bien quand on parle au niveau méta. Mais le lemme de Zorn dit qu'il y a un élément maximal (enfin j'ai même pas vérifié le caractère inductif), et ça en effet c'est pas très dur à vérifier: K lui-même est maximal. Donc sans détails supplémentaires j'ai pas encore compris d'où tu sortais ton élément minimal.

[Zetary]

Application de Zorn pour l'ordre dual (en inversant la relation) : si tout sous ensemble totalement ordonné admet un minorant alors l'ensemble admet un élément minimal

[Siegfried]

Un peu pompeux d'utiliser le terme "collection" pour désigner un ensemble, on préfère garder ce terme quand on manipule des classes d'objets qui ne forment pas un ensemble, ou bien quand on parle au niveau méta.

Qui on ? Cet argument semble assez enfantin

Mais le lemme de Zorn dit qu'il y a un élément maximal (enfin j'ai même pas vérifié le caractère inductif), et ça en effet c'est pas très dur à vérifier: K lui-même est maximal. Donc sans détails supplémentaires j'ai pas encore compris d'où tu sortais ton élément minimal.

Réfléchis plus longtemps alors

[darklol]

Ben "on" = les gens qui font des mathématiques/de la logique en général. Je vois pas en quoi c'est enfantin c'est juste une remarque. Et ok j'ai compris suite à la remarque de Zetary, j'avais juste jamais utilisé cette version du lemme de Zorn (oui tout le monde ne voit pas le lemme de Zorn en prepa a priori...)

[Siegfried]

Ben "on" = les gens qui font des mathématiques/de la logique en général. Je vois pas en quoi c'est enfantin c'est juste une remarque. Et ok j'ai compris suite à la remarque de Zetary, j'avais juste jamais utilisé cette version du lemme de Zorn (oui tout le monde ne voit pas le lemme de Zorn en prepa a priori...)

J'avais, au préalable demandé à Siméon si l'utilisation du lemme de Zorn était nécéssaire, mais je n'ai pas réussi à faire sans.


En théorie des ensembles, de manière général une collection est une partie (au sens intuitif) de l’univers, un ensemble est aussi une collection, mais oui le terme collection ici est assez mal placé.

[darklol]

Oui oui j'ai vu t'en fais pas, et même si j'imagine que tout le monde n'appréciera pas l'utilisation du lemme de Zorn, maintenant que j'ai compris je trouve que c'est une belle preuve.

[Zetary]

Avec mes maigres connaissances en topo des espaces normés, j'avais montré qu'on peut trouver une partie compacte et stable par $ x \mapsto x * x $ sur laquelle cette fonction se restreint en une surjection, mais je ne sais pas si ça avance à quelque chose pour aboutir sans AC (je pensais essayer un genre de point fixe de Brouwer mais ça ne peut pas marcher). Si quelqu'un a une idée...

[V@J]

Et le 427.4 ?

SPOILER:

On peut le faire sans le lemme de Zorn ?

Oui. Par exemple en utilisant

SPOILER:

le théorème de Schur (en théorie de Ramsey)

[Siméon]

C'est chouette d'avoir de jolies preuves conceptuelles ! L'exercice se résout aussi très bien de façon taupinale, avec extractions de sous-suites.