Exercices de MPSI

[muscovado]

SPOILER:

Souvent avec ce genre de relation tu peux essayer d'itérer, pour obtenir un truc qui dépend d'un entier n quelconque. Et tu passes à la limite, je sais pas si ça marche ici (après calcul, il y a un $ 2^n $ qui gêne )

[symétrie]

En fait ça marche pas, désolé. J'avais oublié un facteur 2 dans mon calcul.

[Jeannonyme]

Salut
J'ai l'impression qu'il manque une hypothèse à l'exo 8 page 12 sur tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC ;
ça marche dans le cas d'un triangle ABC (en utilisant la formule de la somme tan(A+B) et C = pi-A-B) mais pas pour tous les angles (par exemple pour A=B=C=pi/4)...
Qu'en pensez-vous ?

[Hoetre]

Salut
J'ai l'impression qu'il manque une hypothèse à l'exo 8 page 12 sur tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC ;
ça marche dans le cas d'un triangle ABC (en utilisant la formule de la somme tan(A+B) et C = pi-A-B) mais pas pour tous les angles (par exemple pour A=B=C=pi/4)...
Qu'en pensez-vous ?

J'ai pas du tout lu l'exercice, mais $ \frac{\pi}{4} $ pour les trois angles d'un triangle, ça me semble un peu chaud. Peut-être voulais-tu dire $ \frac{\pi}{3} $ ? Et dans ce cas la formule dont tu parles au début est vérifiée : $ \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $ , et $ 3 \sqrt{3} = (\sqrt{3})^3 $

A priori, (j'ai toujours pas regardé l'exo), si tu es parvenu à démontrer une formule pour 3 angles quelconques dont la somme fait $ \pi $, il est peu probable que tu trouves un contre exemple (sinon c'est que ta démo est fausse, et alors c'est intéressant et important de comprendre pourquoi)

[Jeannonyme]

Merci !
L'énoncé de l'exo est juste celui-ci :
"montrer que tanA + tanB + tanC = tan A tan B tan C" sans aucune hypothèse concernant les angles A, B, C
Donc avec ce seul énoncé, si A = B = C = pi/4, l'égalité n'est effectivement pas vérifiée
Par contre, il me semble qu'il faut préciser que les angles ABC sont ceux d'un triangle pour que l'égalité soit vérifiée ...

[Jeannonyme]

Avec l'hypothèse du triangle, la condition suffisante A+B+C = pi permet de trouver rapidement que la somme des tan est égale au produit des tan
Mais comment montrer que cette condition est nécessaire ?

[MihoAzuki]

Avec A=B=C y'a surtout qu'un ensemble dénombrable d'angles qui fonctionne.
Tiens, résolvez proprement l'équation des tangentes !
(et trouvez une cns pour que A,B,C vérifient cette équation)

$ tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC $
$ \Leftrightarrow \frac{sinA}{cosA} + \frac{sinB}{cosB} + \frac{sinC}{cosC} $ $ = \frac{sinA sinB sinC}{cosA cosB cosC} $
On multiplie les deux membres par cosA cosB cosC, qui sont non nuls.
L'égalité équivaut à:
$ sinA cosB cosC + sinB cosA cosC + sinC cosA cosB $ $ = sinA sinB sinC $
$ \Leftrightarrow cosC (sinA cosB + sinB cosA) + $ $ sinC (cosA cosB - sinA sinB) = 0 $
$ \Leftrightarrow cos C sin(A+B) + sin C cos(A+B) = 0 $
$ \Leftrightarrow sin (A+B+C) = 0 $
Donc $ A+B+C = k\pi $ ; $ k \in \mathbb{Z} $
C'est la CNS non? (vu que j'ai travaillé avec des équivalences, on a besoin de ça uniquement pour le montrer ou pas? Parce que je sais qu'avec des implications ça se fait en " 2 temps", là je sais pas.. ).

[Jeannonyme]

Merci beaucoup, c'est très clair et démontré par équivalence : c'est bien la CNS sur la somme des 3 angles
Il faut juste préciser que les 3 angles A, B, C ne sont pas congrus à pi/2 mod pi

[MihoAzuki]

Merci beaucoup, c'est très clair et démontré par équivalence : c'est bien la CNS sur la somme des 3 angles
Il faut juste préciser que les 3 angles A, B, C ne sont pas congrus à pi/2 mod pi

Oui désolé, normalement j'aurais du le préciser au début, sinon tan n'existe pas.

C'est clair et démontré avec le bon cheminement.

Mais :
* est-ce qu'une rédaction en LaTEX serait envisageable ?

Mais je ne vois pas de grosse lacune de raisonnement, maintenant il faudrait que tu fasses un vrai analyse-synthese-conclusion mais bon, c'est purement rédactionnel.

J'ai edité en Latex!

"aucune grosse lacune de raisonnement" y en a des petites?

Justement, après être arrivé à "ma" conclusion, faut rédiger aut' chose? Comment?

[Simonus]

Montrer que pour tout $ z_{1},z_{2},z_{3},z_{4} $ de C

$ \sum_{k=1}^{4} |z_{k}| \leq \sum_{1\leq j<i\leq 4 } |z_{j}+z_{i}| $

J'ai tenté des trucs avec des inégalités triangulaires mais je n'aboutis pas. Un indice peut-être ?