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Voici un exo sympa qui demande de réfléchir un peu.

Soit A et B deux matrices de Mn(R) diagonalisables.
On suppose l'existence d'un polynôme P dans R[X] vérifiant
(i) P(A) = P(B)
(ii) deg P >= 1
(iii) Pour tout X dans R, la dérivé de P est positive. P'(X) >= 0

Montrer que A = B

Soit $ z=x+iy $, $ x,y \in \mathbb{R} $, on pose $ g(z)=x^2 + i y^3 $. Prouver que $ g $ est $ \mathbb{R}- $différentiable sur $ \mathbb{C} $ et déterminer sa différentielle.

comment démontre-t-on $ 1+2+3+...+n $ divise $ 1+2^k+3^k+...+n^k k $ impair ?

voici un document pdf montrant effectivement ces liens : https://arxiv.org/pdf/math/9207222v1.pdf , mais de mon côté je n'ai pas de résultats après deux vaines tentatives

artslidd a écrit :comment démontre-t-on $ 1+2+3+...+n $ divise $ 1+2^k+3^k+...+n^k k $ impair ?

voici un document pdf montrant effectivement ces liens : https://arxiv.org/pdf/math/9207222v1.pdf , mais de mon côté je n'ai pas de résultats après deux vaines tentatives

Solution.

C'est effectivement ce que j'ai tenté de faire, mais je bloque

Te rappelles-tu l'astuce de Gauss pour calculer $ 1 + 2+ \dots + 100 $ quand il était enfant ?

Bien sûr, j'ai tenté de l'appliquer mais cela n'avait pas l'air d'aboutir. Cela dit je vais réessayer

Ca y'est j'ai pigé merci beaucoup

Allez, vu que j'aime bien ce forum et que ca me deprime de le voir battre de l'aile ainsi, je tente de remettre les machines en route.

Un exo de probas:

Soit n un entier naturel non nul et E=[|1,4n|]. On divise E en deux ensembles E_1 et E_2 de cardinaux égaux (donc égaux chacun à 2n). On suppose ces deux ensembles rangés par ordre croissant, et on note E_3 la réunion des n premiers éléments de E_1 et des n premiers éléments de E_2. Calculer pour x appartenant à E la probabilité que x appartienne à E_3 et qu'il y soit en x-ième position.

Et un autre sympa que j'aime bien mais qui n'a aucun rapport:

Soit A une partie convexe de IR^n. On suppose A dense dans IR^n. Montrer que A=IR^n.