Exercices de MPSI

[Fresnel]

il fallait juste que je sache la primitive de $ \ln $

Insiste bien sur le "la".

[JeanN]

Ce n'est pas plutôt $ h(xy) = h(x) + h(y) $ ?

Ça marche aussi...

[ticotanar]

J'ai bon j'ai trouvé (je pense).


pour tout réel $ (x;y)\in \mathbb{R}^{2*}_{+} $, la fonction $ f(x)=a x\ln x $, $ a\in \mathbb{R} $ marche (j'ai dérivé deux fois et j'ai obtenu ça : il fallait juste que je sache la primitive de $ \ln $)
après la fonction nulle marche aussi pour tous les réels.

Tu as imposé la condition "dérivable" , sinon quitte à prendre a=0 la fonction nulle est incluse dans l'ensemble que tu as trouvé. Ensuite pour l'exo les solutions doivent être défini-continues sur IR . Mais sinon c'est une très bonne idée ça te permet de conjecturer la tête des solutions pour savoir comment attaquer le problème.
L'exo me parait très difficile sans indication pour quelqu’un n'ayant jamais fais d'exo classiques s'y rapportant et vu qu'on en fait pas en T°S.
Si tu veux un énoncé détaillé je peux te proposer ceci (c'est une méthode que j'ai choisi il doit y avoir plus élégant ):

SPOILER:

Soit f une telle solution
1° Déterminer f(0), f(1), f(-1) puis la parité de f.
2° Posons h=f o exp
a)Soit x qcq et n dans IN déterminer h(nx).
b)Soit r=p/q dans Q déterminer h(p/q).
c)En déduire h(x) pour tout x dans IR.
3° En utilisant 1° déterminer une condition nécessaire sur f, en déduire les solutions du problême.

(Ne pas oublier la réciproque )

[adamard10]

SPOILER:

Pour l'exo de MSman : étudier le signe de $ u_{n+1} - u_{n} $ qui s'avère positif , généraliser à tout entier naturel n car $ u_{0} \geq v_{0} $, s'en servir pour montrer la croissance de $ (v_{n}) $ et la décroissance de $ (u_{n}) $, donc elles convergent (la première est majorée par a, la deuxième minorée par 1). En notant l1 et l2 leurs limites respectives, on a $ 2*l2=l2+l1 $ donc elles ont la même limite. Après on montre que le produit de deux termes de même rang vaut a, donc la limite est égale à $ sqrt(a) $

[symétrie]

On considère une figure dans le plan (et on prend un repère orthonormé si vous voulez) d'aire inférieure strictement à 1 (note pour les gens pénibles : on en restera à une notion intuitive de l'aire). Montrer qu'on peut la translater de façon à ce qu'elle ne contienne aucun point à coordonnées entières.

Pour réfléchir un peu (i.e. il est dur cet exo), un de mes problèmes préférés (je l'avais peut-être déjà posé) : on pave un octogone régulier par des parallélogrammes. Montrer que parmi ceux-ci, il y a au moins deux rectangles.

[into44]

Soit $ a \in [1,+ \infty [ $. Étudier la convergence puis la limite éventuelle des suites définies par :
$ \left\{\begin{array}{c @{, \quad} c @{=} c}
u_0=a & u_{n+1} &\frac{u_n+v_n}{2} \\
v_0=1 & v_{n+1} & \frac{2}{\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}}
\end{array}\right. $

Bac 2012 Asie je crois :3

[MSman]

Soit $ a \in [1,+ \infty [ $. Étudier la convergence puis la limite éventuelle des suites définies par :
$ \left\{\begin{array}{c @{, \quad} c @{=} c}
u_0=a & u_{n+1} &\frac{u_n+v_n}{2} \\
v_0=1 & v_{n+1} & \frac{2}{\frac{1}{u_n}+\frac{1}{v_n}}
\end{array}\right. $

Bac 2012 Asie je crois :3

http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AsieS20juin2012.pdf
Et non pas tout à fait !

[into44]

Ah mince, ma mémoire m'a planté.. x(
(ces exos ou on faisait tourner des algos mdr)

[symétrie]

On considère la figure comme pleine ?

C'est-à-dire ? La figure peut être un peu n'importe comment. (D'ailleurs j'ai pas vu la solution de cet exo, mais normalement j'en ai trouvé une, sauf que c'est peut-être un peu n'importe quoi, donc je me trompe peut-être en répondant aux questions sur l'exo.)

[Fregiso]

Ta démo prend en compte le cas où le nombre de composantes connexes par arcs est infini? (pour formaliser la question de corderaide)