Exercices de MPSI

[symétrie]

Oui (et une petite recherche indique que la preuve à laquelle je pensais est correcte donc en fait je dois pas dire trop de bêtises).

[Alexis73]

Alors j'ai essayé l'exercice proposé par ticotanar.

1) f(0)=0, f(1)=0 et f(-1)=0 (sauf erreur de ma part) et la fonction f est impaire.

2) a) J'ai trouvé par récurrence que $ h(nx)=ne^{(n-1)x}h(x) $.
b) là j'ai pas trop compris : ce serait pas plutôt calculer h((p/q)*x) ? Car pour la question c suivante je vois que calculer h((p/q)x)..
c) j'ai essayé de faire avec ma rectification (c'est-à-dire en regardant h((p/q)*x) et h(nx)) et je trouve (mais pas sûr sûr) : $ h(x)=xe^{x-1}h(1) $

3) Je vois pas trop non plus ^^

[ticotanar]

Alors j'ai essayé l'exercice proposé par ticotanar.

1) f(0)=0, f(1)=0 et f(-1)=0 (sauf erreur de ma part) et la fonction f est impaire.

2) a) J'ai trouvé par récurrence que $ h(nx)=ne^{(n-1)x}h(x) $.
b) là j'ai pas trop compris : ce serait pas plutôt calculer h((p/q)*x) ? Car pour la question c suivante je vois que calculer h((p/q)x)..
c) j'ai essayé de faire avec ma rectification (c'est-à-dire en regardant h((p/q)*x) et h(nx)) et je trouve (mais pas sûr sûr) : $ h(x)=xe^{x-1}h(1) $

3) Je vois pas trop non plus ^^

1) Ok je te fais confiance sur les démos mais c'est ça .
2)a)On est d'accord
b) Tu peux conjecturer h(p/q) grâce à h(n) si ça peut t'aider, ensuite dans l'absolue quand on est sur des rationnels on cherche toujours à se ramener à des entiers.

SPOILER:

p=q*(p/q) par exemple

c) Tu as trouvé une forme pour des rationnels utilise un argument de limite (en utilisant la continuité de h).

3) Tu trouves une forme "nécessaire" des solutions si réciproquement celles-ci sont solutions tu as trouvé ton ensemble.

SPOILER:

L'imparité et la valeur en 0 te permettent de ne t'occuper que de la forme des solutions sur IIR+*

[Alexis73]

1) Ok je te fais confiance sur les démos mais c'est ça .
2)a)On est d'accord
b) Tu peux conjecturer h(p/q) grâce à h(n) si ça peut t'aider, ensuite dans l'absolue quand on est sur des rationnels on cherche toujours à se ramener à des entiers.

SPOILER:

p=q*(p/q) par exemple

c) Tu as trouvé une forme pour des rationnels utilise un argument de limite (en utilisant la continuité de h).

3) Tu trouves une forme "nécessaire" des solutions si réciproquement celles-ci sont solutions tu as trouvé ton ensemble.

SPOILER:

L'imparité et la valeur en 0 te permettent de ne t'occuper que de la forme des solutions sur IIR+*

Ah pour la b) j'y avais pensé en plus... Bref je trouve $ h(p/q)=\frac{p}{q}e^{p/q-1}h(1) $ (en calculant h(p) et h(q*p/q))

c) Puisque la fonction h est continue, on en déduit que $ h(x)=xe^{x-1}h(1) $ car tout réel est limite d'une suite de rationnels (vu que tu parlais de limite, j'ai cherché sur internet et j'ai trouvé ça)

3) Comme t'as dit donc (et ce qui est logique), puisque f est impaire et f(0)=0, on en déduit que les solutions sont sur $ \mathbb{R}^{+*} $.
Et du coup sur $ \mathbb{R}^{+*} $ :

$ f(e^{\ln x})=C\times \ln x\times e^{\ln x} \Leftrightarrow f(x)=C\times x\ln x $, $ C\in \mathbb{R} $.

Merci en tout cas de ton aide ticotanar !

[ticotanar]

Ouais ça va ^^ juste un peu rapide la fin (et rédigé de façon maladroite ^^), faut peut être justier qu'une telle solution est continue en 0 (Ok c'est un limite de cours) et ailleurs c'est évident.
Tu peux conclure que les solutions sont { x->0 si x=0 ,x-> Cte * x *ln|x| sinon}.

[Alexis73]

Oui oui j'ai abrégé la fin !
Merci beaucoup en tout cas

[spemaths]

Un truc sympa de pré rentrée :

1) Soit f et g 2 fonctions n fois dérivables. Montrer la formule de Leibniz :
$ (f.g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} $

2) En dérivant n fois la fonction $ x \to x^{2n} $ donner une expression simple de
$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $

[brank]

Tu trouves cet exo sympa ?

[kwalkwalkwal]

Moi je le trouve plutôt sympa, surtout la question 2 qui est une belle application de la question 1

D'ailleurs quelqu'un avait réfléchit à l'exo 3 du Cassini des futurs MPSI ? Personnellement j'ai trouvé une solution mais elle est assez dure à rédiger !

[Magnéthorax]

Bonjour Atoine-,

Exercice 1.b

$ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], 0\leq t^{n+1}\leq t^{n}\Leftrightarrow 1\leq I_{n+1}\leq I_n $. $ (I_n) $ décroissante et minorée par 1 donc convergente vers un réel $ l\geq 1 $.
Posons $ u = t^{n} $. $ \forall t\in \left [ 0;1 \right ], t^{n}=u\in \left [ 0;1 \right ] $ et d'après 1.a, $ \forall u\in \left [ 0;1 \right ], e^{0}\leq e^{u}\leq 1 + (e-1)t^{n} \Leftrightarrow 1\leq \ In \leq 1 + \frac{e-1}{n+1} $ donc d'après le théorème d'encradrement, $ In \rightarrow 1 $.

Je vous avoue que pour le 2 j'en ai aucune idée.

Je me permets de vous conseiller de laisser tomber momentanément les quantificateurs. Ce n'est pas qu'un problème de rédaction, c'est un problème de logique. A ce titre, vous pouvez être assez lourdement pénalisé. Rédigez plutôt en Français en utilisant des connecteurs logiques comme "donc".