Exercices de MPSI

[MSman]

SPOILER:

Pas continue? Je dirais la fonction partie entière alors

Il y a des endroits où la dérivée n'est pas définie.

[adamard10]

SPOILER:

Justement, la dérivée est nulle en tous les endroits où elle est définie

[AurelO]

SPOILER:

Justement, la dérivée est nulle en tous les endroits où elle est définie

SPOILER:

et la fonction constante sur ces memes endroits.

[Monsterkuru]

Un truc sympa de pré rentrée :

1) Soit f et g 2 fonctions n fois dérivables. Montrer la formule de Leibniz :
$ (f.g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} $

2) En dérivant n fois la fonction $ x \to x^{2n} $ donner une expression simple de
$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $

J'aime le résultat , on peut aussi démontrer la 1

SPOILER:

avec taylor plutôt qu'une récurrence

[Thomaths]

Un truc sympa de pré rentrée :

1) Soit f et g 2 fonctions n fois dérivables. Montrer la formule de Leibniz :
$ (f.g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} $

2) En dérivant n fois la fonction $ x \to x^{2n} $ donner une expression simple de
$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $

J'aime le résultat , on peut aussi démontrer la 1

SPOILER:

avec taylor plutôt qu'une récurrence

On peut également retrouver la formule du binôme de Newton $ \forall n \in \mathbb{N}, \forall a,b \in \mathbb{R} $ : $ (a+b)^{n} = \displaystyle{\sum_{k=\,0}^{n}} \binom{n}{k} a^{k} b^{n-k} $
À partir de la formule de Leibniz en posant judicieusement f et g

[Alexis73]

Exo sympa (pour moi en tout cas):

Montrer que pour tout reél $ x $: $ \cos (\sin x)> \sin (\cos x) $.

[adamard10]

Alexis : tu l'as pris du pdf de LLG ?

[Tornado]

Il est ultra sale si vous voulez savoir

[Alexis73]

Alexis : tu l'as pris du pdf de LLG ?

Yep pour l'avoir fait je le trouvais sympa

[adamard10]

J'ai une preuve mais qui nécessite de connaitre les valeurs numériques de $ \pi $ et $ sqrt(2) $