Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

adamard10 : pour la question sur les fonctions à dérivée nulle, vous faites une erreur de logique. Le contre-exemple recherché doit être dérivable sur son ensemble de définition (donc continu), ce qui n'est pas le cas de la partie entière sur l'ensemble des nombres réels.

Dans le même genre : une fonction dérivable (partout où elle est définie) dont la dérivée est positive est-elle nécessairement croissante ?

[adamard10]

Magnétorax : Je pensais à la fonction partie entière délestée de ses points de discontinuité, j'aurais du le préciser. J'ai compris l'énoncé dans ce sens : "trouver une fonction dont la dérivée est nulle là où elle est dérivable"

[adamard10]

Quant à votre exercice, je pense qu'on peut considérer la fonction définie sur $ \Re \backslash Z $ par $ f(x)=x-\left[x \right] $

[Kallio]

Soient $ \theta $ un élément de $ ]-\pi;\pi[-\left \{ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right \} $ et $ u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2cos(k\theta)} $. Pour quelles valeurs de $ \theta $ la suite $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ converge-t-elle ?

Est-ce que vous avez des idées pour cet exo ? Je vois pas du tout comment faire, enfin j'ai essayé quelques trucs mais les résultats n'étaient pas trop concluants.

[spemaths]

Bah |1/cos(x)| > 1 pour tout x donc j'vois pas le truc converger car le terme général doit tendre vers 0 ...

[Kallio]

Oui je sais moi aussi j'ai un peu de mal à voir la convergence (j'aurais bien vérifié à la calculatrice mais elle marche plus), mais ils n'auraient pas posé la question si il n'y avait aucune convergence ...

[JeanN]

Si elle converge alors $ u_{n+1}-u_n $ tend vers 0...
Réponse : aucune valeur ne donne la convergence.

[JeanN]

Si elle converge alors $ u_{n+1}-u_n $ tend vers 0...
Réponse : aucune valeur ne donne la convergence.

[youyou7]

Montrer que (E(x)^E(x))/(x^x) n'admet pas de limite en +oo

[ama26]

Montrer que (E(x)^E((x)))/(x^x) n'admet pas de limite en +oo

SPOILER:

en +oo 0<E(x)^E(x)<=x^x
(E(x)^E(x))/(x^x) = 1 si x entier
Donc (E(x)^E(x))/(x^x) oscille entre 1 aux valeurs entieres et $ \frac{E(x)^{(E(x))}}{(E(x)+1-\mathcal{E})^{(E(x)+1-\mathcal{E})}}=\frac{E(x)^{(E(x))}}{E(x+1)^{(E(x+1)}} $
quand x tend par valeurs inferieures a l'entier supérieur.

Pour que la fonction aie une limite de 1, il faudrait que E(x)^E(x) tende vers x^x en +oo.
Considérons les suite d'entiers xb, avec xb = a + b avec b fixe dans ]0;1[
lim a^a/(a+b)^(a+b) = lim a^a/a^(a+b) (ici on peut remplacer a+b^a+b par a^a+b car a^(a+b)<(a+b)^(a+b) et si la lim tend vers 0 avec a^a+b elle le fera a forciori avec une fonction plus violente: a+b^a+b)
= lim a^a/a^a*a^b = lim a^(-b) = 0
Ainsi toutes les suites xb, de même fréquence que les entiers, tendent vers 0.
On a donc dans la fonction des suites tendant a même fréquence(b constant), vers d'autres limites que 1. (je sais pas trop comment le formuler plus rigoureusement).

Ainsi on a deux limites qui alternent, celle des suites xb de meme partie non entiere b et celle des entiers. La limite de chaque suite xb est diffèrente de 1 car xb^xb - E(xb)^E(xb) = (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo. La limite des entiers est 1.
Il n'y a donc pas de limite.

J'ai fait ca vite fait, sans papier, désolé pour la présentation. j'ai peut etre oublié un truc ?

édité pour corrections.