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en +oo 0<E(x)^E(x)<=x^x
(E(x)^E(x))/(x^x) = 1 si x entier
Donc (E(x)^E(x))/(x^x) oscille entre 1 aux valeurs entieres et $ \frac{E(x)^{(E(x))}}{(E(x)+1-\mathcal{E})^{(E(x)+1-\mathcal{E})}}=\frac{E(x)^{(E(x))}}{E(x+1)^{(E(x+1)}} $
quand x tend par valeurs inferieures a l'entier supérieur.

Pour que la fonction aie une limite de 1, il faudrait que E(x)^E(x) tende vers x^x en +oo.
Considérons les suite d'entiers xb, avec xb = a + b avec b fixe dans ]0;1[
lim a^a/(a+b)^(a+b) = lim a^a/a^(a+b) (ici on peut remplacer a+b^a+b par a^a+b car a^(a+b)<(a+b)^(a+b) et si la lim tend vers 0 avec a^a+b elle le fera a forciori avec une fonction plus violente: a+b^a+b)
= lim a^a/a^a*a^b = lim a^(-b) = 0
Ainsi toutes les suites xb, de même fréquence que les entiers, tendent vers 0.
On a donc dans la fonction des suites tendant a même fréquence(b constant), vers d'autres limites que 1. (je sais pas trop comment le formuler plus rigoureusement).

Ainsi on a deux limites qui alternent, celle des suites xb de meme partie non entiere b et celle des entiers. La limite de chaque suite xb est diffèrente de 1 car xb^xb - E(xb)^E(xb) = (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo. La limite des entiers est 1.
Il n'y a donc pas de limite.