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Montrer que, si $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de réels positifs tendant vers 0, { ${ n \in \mathbb{N} , ∀m \geq n, y_m \leq y_n}$ } est infini.

n et m sont inversés ?

yoloyo123 a écrit : ↑

16 juin 2018 22:27

Montrer que, si $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de réels positifs tendant vers 0, { ${ n \in \mathbb{N} , ∀m \geq n, y_n \leq y_m}$ } est infini.

Au premier abord, supposons par l'absurde qu'il y a un nombre fini de tel $ n $, si la suite est identiquement nulle il y a rien a démontrer , sinon

soit $ r >0 , y_{r} >0 $ le maximum de tel $ n $ , on pose $ f(0)=p=min \{k \geq r+1 , y_{k} < y_{r+1}\} $ on a $ y_{r}\leq y_{f(0)} < y_{r+1} $ , on peut donc construire $ (y_{f(n)}) $ strictement décroissante tel que :
$ y_{r}\leq y_{f(n)} < y_{r+1} $ donc $ (y_{f(n)}) $ converge vers $ l\geq y_{r} > 0 $ absurde.

Il suffit de montrer que l'ensemble est non vide, et qu'on peut choisir un tel $ r $, pour conclure. Vu qu'il y a toujours un nombre fini de termes de la suite qui peuvent être supérieures a un réel donné, on pourrait peut être définir une relation d'ordre pour aboutir....

Edit : une suite strictement décroissance est clairement un exemple pour lequel l'ensemble est vide!

yoloyo123 a écrit : ↑

16 juin 2018 22:27

Montrer que, si $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de réels positifs tendant vers 0, { ${ n \in \mathbb{N} , ∀m \geq n, y_n \leq y_m}$ } est infini.

La suite $ (\frac{1}{n + 1})_{n \in \mathbb{N}} $ n'approuve pas ce post. Voulais-tu écrire que $ \{ n \in \mathbb{N} , ∀m \geqslant n, y_m \leqslant y_n\} $ est infini ?

Dattier a écrit : ↑

17 juin 2018 00:55

Bonsoir,

Avec la valeur absolue cela doit-être mieux.

Bonne soirée.

quel est l'intérêt de parler de la valeur absolue de nombres positifs ?


sous les hypothèses de la suites (y_n)

si y_n est tel que pour tout m >= n :: $ y_n \le y_m $ alors il suffit de faire tendre m vers +oo pour se rendre compte que $ y_n = 0 $

Dattier a écrit : ↑

17 juin 2018 00:55

Bonsoir,

Avec la valeur absolue cela doit-être mieux.

Bonne soirée.

De quoi parles-tu ?

yoloyo123 a écrit : ↑

16 juin 2018 22:27

Montrer que, si $ (y_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ est une suite de réels positifs tendant vers 0, $ E = \{ n \in \mathbb{N} , ∀m \ge n, y_n \ge y_m \} $ est infini.

supposons E fini et soit m son maximum

je considère la suite extraite suivante :

je prends $ y_{m + 1} $ qui n'appartient pas à E

et par récurrence je construis la suite suivante :

si $ y_k \notin E $ alors le terme suivant est donné par le premier indice p supérieur strictement à k tel que $ y_p > y_k $

évidemment $ y_p \notin E $ donc on recommence

on construit alors une suite strictement croissante de réels positifs ... qui ne tendent donc pas vers 0

ce qui est contradictoire avec l'hypothèse sur la suite $ (y_n) $

zygomatique a écrit : ↑

17 juin 2018 14:54

yoloyo123 a écrit : ↑

16 juin 2018 22:27

Montrer que, si $ (y_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ est une suite de réels positifs tendant vers 0, $ E = \{ n \in \mathbb{N} , ∀m \ge n, y_n \ge y_m \} $ est infini.

supposons E fini et soit m son maximum

je considère la suite extraite suivante :

je prends $ y_{m + 1} $ qui n'appartient pas à E

et par récurrence je construis la suite suivante :

si $ y_k \notin E $ alors le terme suivant est donné par le premier indice p supérieur strictement à k tel que $ y_p > y_k $

évidemment $ y_p \notin E $ donc on recommence

on construit alors une suite strictement croissante de réels positifs ... qui ne tendent donc pas vers 0

ce qui est contradictoire avec l'hypothèse sur la suite $ (y_n) $

Ta rédaction est un peu bancale. Typiquement le $ y_{m+1} $ qui n'appartient pas à E, ça ne veut pas dire grand chose. Tu veux sans doute dire que si $ m $ est ce max, alors $ m+1 $ n'appartient pas à E. Etc etc.

oui bien sur : confusion entre terme et indice ... désolé

Désolé pour la faute !