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adamard10 a écrit :

SPOILER:

Voilà, tout réel x à la partie fractionnaire non nulle a une image arbitrairement proche de 0. Est-ce qu'on peut parler de convergence simple?

ama26 a écrit :

SPOILER:

en +oo 0<E(x)^E(x)<=x^x
(E(x)^E(x))/(x^x) = 1 si x entier
Donc (E(x)^E(x))/(x^x) oscille entre 1 aux valeurs entieres et $ \frac{E(x)^(E(x))}{(E(x)+1-\mathcal{E})^(E(x)+1-\mathcal{E})}=\frac{E(x)^(E(x))}{E(x+1)^(E(x+1)} $
quand x tend par valeurs inferieures a l'entier supérieur.

Pour que la fonction aie une limite de 1, il faudrait que E(x)^E(x) tende vers x^x en +oo.
Prenons a = E(x) et b dans ]0;1[ b = x - E(x).
Or x^x - E(x)^E(x) tend vers +oo pour les valeurs non entieres de x car quand a tend vers +oo ((a+b)^(a+b) - a^(a+b)) aussi, (l'écart entre deux fonctions exponentielles de bases a+b et a), or a^a < a^a+b, donc (a+b)^(a+b) - a^a tend aussi vers vers +oo)
E(x)^E(x) / x^x ne tend pas vers 1 pour les valeurs non entières.

Ainsi on a deux limites qui alternent, celle des valeurs intermediares R - N: l1= lim(E(x)^E(x)) =/=, et celle des valeurs entières N: l2=1. l1=/=l2
Il n'y a donc pas de limite. On pourrait étudier la limite de E(x)^E(x)/x^x pour x non entier (ca doit etre 0) mais pour cet exo il nous suffit de montrer qu'elle est differente de 1.

J'ai fait ca vite fait, sans papier, désolé pour la présentation. j'ai peut etre oublié un truc ?

ama26 a écrit :Oups, j'ai glissé d'un comportement à l'infini vers une suite de fonctions en revenant rapidement sur l'exo, désolé. Donc si elle adopte un comportement de convergence simple en x --> +oo ça s'appelle comment ?
pour les puissances, j'ai oublié les "{}".

Pour a et b ca a été rajouté à la fin. En gros en décomposant x en a et b, pour tout x, (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo quand a( et x) tendent vers +oo, mais b fixé.
Ta suite, elle prend a chaque fois une valeur dont le chiffre apres la virgule est de plus en plus bas, non ? le b tend vers 0 dans ta suite.
En gros je considérais un b fixe, et j'ai prouvé que (a+b)^(a+b) - a^a tend vers +oo, donc avec ce b fixe, la suite des x = a + b tendait vers autre chose que 1.
On peut faire ca pour tous les b fixes, et on a plein de suites, en fonction des b, dans la fonction qui ne tendent pas vers 1, mais 0. En rédigeant je n'avais pas considèré qu'il fallait fixer le b.
J'ai corrigé dans le post initial.