SPOILER:
Introduisons pour $u$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ le polynôme $\displaystyle P(X)=\prod_{i=0}^{u}(X+i).$ Alors par une décomposition en éléments simples, on a $\displaystyle \frac{1}{P(X)}=\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\frac{1}{X+i},$ qui donne en particulier $\displaystyle \sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}=0\mbox{ } \textbf{(*)}.$
Ainsi, en regardant la plage commune d'indices, on a pour tout $N$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ (assez grand),
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{P(n)} & =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+i}\\
& = \sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\sum_{n=1+i}^{N+i}\frac{1}{n}\\
& =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\left(\sum_{n=1+i}^{N+i}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\right) \mbox{ par } \textbf{(*)}\\
& =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\left(\sum_{n=N+1}^{N+i}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{i}\frac{1}{n}\right)\\
& \longrightarrow_{N\rightarrow +\infty} -\sum_{i=1}^{u}\frac{1}{P'(-i)}H_{i},
\end{align*}
où $H_{i}$ désigne le $i$-ème nombre harmonique.
Par un calcul direct, on a enfin pour tout $i$ appartenant à $\{0,\ldots,u\},$ $\displaystyle P'(-i)=(-1)^{i}i!(u-i)!.$ Ainsi, il vient $$A(u):=-\sum_{i=1}^{u}\frac{1}{P'(-i)}H_{i}=\frac{1}{u!}\sum_{i=1}^{u}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}.$$
Or, on a par la formule du triangle de Pascal puis par la formule du binôme de Newton (avec la convention que $H_{0}=0$) :
\begin{align*}
(u+1)!A(u+1) & =\sum_{i=1}^{u+1}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}+\sum_{i=1}^{u+1}(-1)^{i+1}\binom{u}{i-1}H_{i}\\
& = \sum_{i=0}^{u}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}+\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\binom{u}{i}H_{i+1}\\
& =\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\frac{\binom{u}{i}}{i+1}\\
& =\frac{1}{u+1}\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\binom{u+1}{i+1}\\
& =\frac{1}{u+1}.
\end{align*}
La limite recherchée est donc pour $u\geq 1,$ $\displaystyle A(u)=\frac{1}{u!u}.$
Ainsi, en regardant la plage commune d'indices, on a pour tout $N$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ (assez grand),
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{P(n)} & =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+i}\\
& = \sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\sum_{n=1+i}^{N+i}\frac{1}{n}\\
& =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\left(\sum_{n=1+i}^{N+i}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\right) \mbox{ par } \textbf{(*)}\\
& =\sum_{i=0}^{u}\frac{1}{P'(-i)}\left(\sum_{n=N+1}^{N+i}\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{i}\frac{1}{n}\right)\\
& \longrightarrow_{N\rightarrow +\infty} -\sum_{i=1}^{u}\frac{1}{P'(-i)}H_{i},
\end{align*}
où $H_{i}$ désigne le $i$-ème nombre harmonique.
Par un calcul direct, on a enfin pour tout $i$ appartenant à $\{0,\ldots,u\},$ $\displaystyle P'(-i)=(-1)^{i}i!(u-i)!.$ Ainsi, il vient $$A(u):=-\sum_{i=1}^{u}\frac{1}{P'(-i)}H_{i}=\frac{1}{u!}\sum_{i=1}^{u}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}.$$
Or, on a par la formule du triangle de Pascal puis par la formule du binôme de Newton (avec la convention que $H_{0}=0$) :
\begin{align*}
(u+1)!A(u+1) & =\sum_{i=1}^{u+1}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}+\sum_{i=1}^{u+1}(-1)^{i+1}\binom{u}{i-1}H_{i}\\
& = \sum_{i=0}^{u}(-1)^{i+1}\binom{u}{i}H_{i}+\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\binom{u}{i}H_{i+1}\\
& =\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\frac{\binom{u}{i}}{i+1}\\
& =\frac{1}{u+1}\sum_{i=0}^{u}(-1)^{i}\binom{u+1}{i+1}\\
& =\frac{1}{u+1}.
\end{align*}
La limite recherchée est donc pour $u\geq 1,$ $\displaystyle A(u)=\frac{1}{u!u}.$
