Exos sympas MP(*)

[oty20]

wow, jolie ! auriez vous un article à m'indiquer , j'aimerai bien voir les détails , merci beaucoup.

[saysws]

J'ai pas d'article en tête mais la fin de ceci devrait faire l'affaire :
http://jean-pierre.barani.pagesperso-orange.fr/PRM.PDF

[oty20]

@Saysws Merci infiniment .


parce que les séries c'est la vie :
Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ telle que pour toute suite réelle $ (u_{n}) $ , $ \sum f(u_{n}) $ converge si et seulement si $ \sum u_{n} $ converge, que dire de $ f $ ?

[oty20]

Ah je crois que c'est connu d’ailleurs le problème donne la réponse dans le cas général , $ f $ doit être localement affine.

le contre exemple pour le cube est assez sympa.

[oty20]

pour le carré pensé à une série alternée

[BobbyJoe]

On écrit pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R},$ $\displaystyle \cos^{3}(x)=\frac{1}{8}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^{3}=\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{4}\cos(x).$
En considérant la série de Tg, pour $n\geq 2$ : $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos(2n\frac{\pi}{3})}{\ln(n)}$ est convergente et donne le contre-exemple!

[BobbyJoe]

Le caractère réel de la suite est rarement un frein à trouver des contre-exemples!
Vu qu'il existe des contre-exemples avec des suites complexes (pensez aux racines de l'unité!), la partie réelle ou la partie imaginaire de la série donne le contre-exemple (à vrai dire, on ne sait pas laquelle mais dans l'exemple précédent on a juste montré qu'en fait les deux séries sont en réalité divergentes!).

[oty20]

@BobbyJoe qu'est ce que vous pensez de l'exercice , sur le cas général ?

[BobbyJoe]

Qu'il existe une série convergente dont une puissance (entière fixée) du terme général donne une série divergente... Mais bof, comme exo
Il nettement plus amusant de construire une suite complexe $\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}$ (qui n'est pas la suite nulle) telle que pour $k \in \mathbb{N}^{*},$ $\displaystyle \sum\limits_{n\geq0} a_{n}^{k}=0$ (bien entendu une telle suite ne peut pas former une série AC! On peut même dire mieux!).

[oty20]

parce que les séries c'est la vie :
Soit $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ telle que pour toute suite réelle $ (u_{n}) $ , $ \sum f(u_{n}) $ converge si et seulement si $ \sum u_{n} $ converge, que dire de $ f $ ?

je faisais référence à celui la.