Exercices de MPSI

[adamard10]

Tornado : j'ai publié l'exo sans connaitre exactement la démo, j'avais juste vu un exercice sur ça
http://www.academia.edu/9876670/Exp-ln-irrationnel

[lsjduejd]

Ah oui, j'avais pas vu.
Comment donc le démontrer ? En raisonnant par l'absurde ? (à première vue je vois ça)

C'est le point délicat

Je te propose d'abord de montrer ce qui suit et de reprendre les recherches :

SPOILER:

Soient a,b deux entiers naturels non-nuls premiers entre eux et p,q deux autres entiers naturels non-nuls premiers entre eux tels que :
$ (\frac{a}{b})^{\frac{p}{q}} $ est rationnel. Montrer alors que a et b sont des puissances q-ième.

[MarvinLeRouge]

Tu vois l'exo que j'ai reposté récemment, je l'avais pas trouvé quand j'étais en terminale et pourtant il m'avait paru bien cool. Si cool que je l'ai finalement re-cherché cette année.

Bah si des TS ont envie de t'avoir pour modèle ils piocheront eux meme des exos dans le topic des Mp* hein

[MSman]

On dispose d'une boite à sucre au format 10x10x10. Combien de sucres au format 1x2x4 peut-on mettre dans cette boîte ? (sans les casser bien sûr)

[lsjduejd]

Bah si des TS ont envie de t'avoir pour modèle ils piocheront eux meme des exos dans le topic des Mp* hein

Ouais, ok.

[JeanN]

Oups, je pensais que "ca revient à dire" signifiait une équivalence

Moi aussi...

[MihoAzuki]

Dans une école, les étudiants peuvent faire du football ou du basketball. Un cinquième des étudiants qui jouent au football jouent également au basketball et un septième de ceux qui jouent au basketball jouent aussi au football. Si 110 étudiants pratiquent un seul de ces deux sports, combien pratiquent les deux sports ?

SPOILER:

Soit F le nombre d'élèves jouant au foot, et B le nombre de ceux jouant au Basket.
Soit D le nombre d'élèves pratiquant les deux sports, $ D = \frac{1}{5}F = \frac{1}{7}B $ donc $ F = \frac{5}{7}B $

De plus, $ \frac{4}{5}F + \frac{6}{7}B = 110 $ donc $ \frac{10}{7}B = 110 $, on a donc $ B = 77 $, ou encore $ D = 11 $.

Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers positifs qui satisfont l’équation a2+10b=2010.

SPOILER:

$ a^2 + 10b = 2010 $
Donc $ a^2 \equiv 0 \pmod {10} $
Alors $ a \equiv 0 \pmod {10} $ , ou encore$ a = 10k $. (on peut observer ça via un tableau de congruence modulo 10)
$ (10k)^2 + 10b = 2010 $
$ 10k^2 + b = 201 $
Et vu que b positif, k < 5 (vu que 10*5² = 250 > 201)
Donc les couples sont:
$ (0;201) ; (10;191) ; (20;161) ; (30; 111); (40;41) $

[MihoAzuki]

Un cube d’arête $ n $ cm est peint, puis découpé en $ n^3 $ petits cubes d’arête 1 cm. Ainsi certains de ces petits cubes n’ont aucune face peinte, d’autres en ont une, deux ou trois. Pour quel nombre n le nombre de cubes qui n’ont pas de face peinte est-il égal à celui des cubes qui n’ont qu’une seule face peinte ?

SPOILER:

n=2 ou n=8.
Pour la justification, j'ai essayé de trouver le nombre de cubes colorés sur une/deux/trois/aucune face en fonction de n (ça vaut respectivement 6(n-2)² / 12(n-2) / 8 / (n-2)^3 ) et j'ai trouvé les solutions de (n-2)^3 = 6(n-2)² . (pour justifier le nombre de cubes colorés sur X faces, j'ai fait un dessin! )

[Tornado]

Tornado : j'ai publié l'exo sans connaitre exactement la démo, j'avais juste vu un exercice sur ça
http://www.academia.edu/9876670/Exp-ln-irrationnel

Merci pour le lien, je regarde quand j'ai le temps !

[Monsterkuru]

Je déterre celui-là , il ma bien plu

Un de combinatoire que j'ai beaucoup aimé:

Soit $ \alpha\in [0,\pi] $. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on note $ V_n(\alpha) $ le nombre de changements de signes dans la suite $ 1, \cos \alpha, \cos (2\alpha), \cdots, \cos (n\alpha) $.
Montrer que $ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{V_n(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{\pi} $