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dSP a écrit : ↑

17 nov. 2018 16:09

Si c'est la démonstration attendue, alors cet exercice est de mauvais goût...

Non non pour l'exercice tel qu'il est posé c'est accessible niveau prepas, D'ailleurs il existe une preuve dans le nouveau livre de Roger Mansuy...

j'en connais deux autres en dimension 1, une aussi accessible une autre un peu moins car repose sur une transformée de Fourier

@Bobbyjoe auriez-vous une jolie interprétation de ce résultat ? Merci

Si la norme $ $$\|.\|$ sous-jacente est euclidienne, on peut s'intéresser au pendant de cette inégalité pour les norme $ $$p$ : le cas de la norme $2$ (i.e. $ $$\displaystyle \mathbb{E}\left[ \|X-Y\|^{2} \right] \leq \mathbb{E}\left[ \|X+Y \|^{2}\right]$ est amusant, le cas $ $$p=\infty$ aussi (les autres cas s'obtiennent par interpolation).
Je dirais qu'une interprétation possible mais "naze" du résultat est :
si l'on tire deux sommets $ $$M,M'$ aléatoirement suivant la loi de $ $$X$, le triangle $ $$OMM'$ est en moyenne aigu en $ $$O.$

La preuve dans le livre cité plus haut est exactement celle que vous avez proposé , en dimension 1.

On peut se passer de l'identité qui semble parachuté, en faisant la constatation que :
$ |X+Y|-|X-Y|=2\min(X,Y) sign(XY) $ et donc la différence entre les deux membres de l’inégalité peut être écrite comme :

$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2 \int_{0}^{\infty} [P(|X|\geq t, |Y|\geq t, XY\geq 0)-P(|X|< t, |Y|< t, XY< 0)]dt $

Comme $ P(Z \geq t)=P(Z >t) $ presque partout, Compte tenue des hypothèses il vient que :
$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2\int_{0}^{\infty} [P(X \geq t)]^{2}+ [P(X \leq -t)]^{2}-2P(X \geq t)P(X \leq -t) dt
\\~~~~~~~=2\int_{0}^{\infty} [P(X\geq t)-P(X \leq -t)]^{2} dt \geq 0 $

Dattier a écrit : ↑

17 nov. 2018 16:19

Bonjour,

@dSP : pourquoi cela, les outils qu'utilisent Bobby sont aux programmes de MP* non ?

Bonne journée.

Cela ne vous pose aucun problème que la démonstration proposée soit fondée sur une identité parachutée totalement introuvable ?

Tiens @oty20, ça me rappelle quelque chose : https://math.stackexchange.com/question ... 701#414701
Une source est-elle indiquée pour cette démonstration ?

Une autre discussion qui montre que ceci découle en fait d'un résultat de dispersion plus général : http://www.les-mathematiques.net/phorum ... msg-872787

Dattier a écrit : ↑

18 nov. 2018 12:29

En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?

C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|

Dattier a écrit : ↑

18 nov. 2018 13:45

noro a écrit : ↑

18 nov. 2018 13:24

C'est faux il suffit de prendre n=1, m=2, x=1, y=-2 alors |x-y| > |x+y|

On prend X={1,-2}

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i-x_j|=3+3+0+0=6$

$\sum \limits_{(i,j)} |x_i+x_j|=1+1+4+2=8$

Tu as dû oublier les cas $|x_i+x_i|$

Oui tu as raison j'ai mal lu

Siméon a écrit : ↑

18 nov. 2018 09:53

Une source est-elle indiquée pour cette démonstration ?

En faite ce problème est apparu dans la compétition Miklós Schweitzer en 1990 , cela m'avait choqué de le voir apparaitre dans un livre de prépas , je ne connais que les initiales de l'auteur T.F.MÓRI , la solution que j'ai présenté est la solution de l'auteur.

D'ailleurs il y a une compétition qui a récemment vu le jour en France, dont l'idée je pense est inspiré de cette compétition

@Dattier le livre est sortie juillet 2018 il me semble.

Dattier a écrit : ↑

18 nov. 2018 12:29

En fait ce problème revient à dire que (je parle de la généralisation dont parle BobbyJoe, en me réfèrant au lien donné par Siméon)

Si $ ||.|| $ norme euclidenne de $\mathbb R^n$, $\{x_1,...,x_m\} \subset \mathbb R^n$
$\sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i-x_j|| \leq \sum \limits_{(i,j)\in \{1,...,m\}} ||x_i+x_j|| $

@Oty : le livre a été publié quand ?

On peut démontrer cet exo avec une méthode similaire à la démonstration du précédent exercice, et c'est plutôt classe

Joyeuse année 2019:
Que vaut :

$ \int_{1}^{2019} (x-1)(x-2)...(x-2019)dx $