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Ce n'est pas forcément une coquille : quand tu écris "toutes les périodes de la suite", elles n'existent pas forcément. Dans ce cas n'importe quel p convient.

Le problème venait du "sont exactement les multiples" qui avait sens d'équivalence ici.

Ah bien vu, j'avais pas fait attention.

Bonjour, j'ai une question et je pense que ce fil est approprié pour ça..
Si on me dit qu'une fonction f(x) est une application continue de [0;1] dans [0;1], est-ce que ça implique qu'il existe a et b tels que f(a) = 0 et f(b) = 1?
(Par exemple, est-ce qu'on peut dire que x/2 correspond? )

Non
(Oui)

JeanN a écrit :Non
(Oui)

Merci!

MihoAzuki a écrit :Bonjour, j'ai une question et je pense que ce fil est approprié pour ça..
Si on me dit qu'une fonction f(x) est une application continue de [0;1] dans [0;1], est-ce que ça implique qu'il existe a et b tels que f(a) = 0 et f(b) = 1?
(Par exemple, est-ce qu'on peut dire que x/2 correspond? )

Si une application va de E dans F, ça veut simplement dire que l'ensemble des valeurs prises par f(x) quand x décrit E est inclus dans F.

Siméon a écrit :@Tornado : Il y avait effectivement une coquille dans l'énoncé : il se peut que $ p = 0 $. Je redonne l'énoncé corrigé :

Exercice. On appelle période d'une suite $ (x_n)_{n \in \mathbb N} $ un entier $ p \in \mathbb N $ satisfaisant $ x_{n+p} = x_n $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
Montrer que pour toute suite il existe un entier $ p \in \mathbb N $ tel que les périodes de la suite sont exactement les multiples de $ p $.

J'en profite pour ajouter des indications progressives :

SPOILER:

Que dire de la somme de deux périodes ?

SPOILER:

Si $ p_1 $ et $ p_2 $ sont des périodes avec $ p_1 \geq p_2 $, que dire de $ p_1 - p_2 $ ?

SPOILER:

Prendre pour $ p $ la plus petite période non nulle (si elle existe).

Bon alors je propose : (mais soyez indulgents )

• Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite telle que $ p_1 $ et $ p_2 $ soient des périodes.
On suppose de plus pour la suite que $ p_1 \geq p_2 $.

Alors :

• Soit $ n \in \mathbb{N} $.
On a alors : $ u_n = u_{n + p_1} = u_{n + p_1 + p_2} $ par périodicité. Donc $ p_1 + p_2 $ est également une période.

De plus, soit $ n \geq p_2 $
On a $ u_n = u_{n+p_1} $. Comme $ p_2 $ est également période et que $ n+p_1 \geq p_2 $, on peut écrire (quitte a changer d'indice pour se convaincre) que $ u_n = u_{n+p_1-p_2} $
Donc $ p_1 - p_2 $ est période également.

Maintenant soit $ p $ là plus petite période non nulle de $ (u_n) $ (si elle existe, dans le cas contraire le problème est réglé). En iterant la première propriété (la somme de deux périodes est une période), on montre simplement que les multiples de p sont également des périodes.
De plus soit $ k \in \mathbb{N} $ une autre période non multiple de p (avec donc $ k \geq p $).
On effectue la division euclidienne de k par p : $ k = bp+r $.
k et bp étant deux périodes, alors leur différence l'est aussi. Donc r est une période mais par définition de la division euclidienne r < p donc contradiction

On a donc prouvé la propriété recherchée (a savoir que les périodes de $ (u_n) $ sont exactement les multiples de p).

PS : Je veux bien des indics sur la rédaction pour améliorer un peu tout ça (si tant est que ce que j'ai fait est juste).

Un truc que je comprend pas pourquoi $ p_1-p_2 $ est une période ? $ n+p $ est une periode mais en quoi $ n-p $ en est une aussi ?

JustSayin' a écrit :Pas mal !

Petite question (c'est pas de la rhétorique) : pourquoi tu ne prouves pas l'existence de $ p_1 $ et de $ p_2 $ ?

Ben c'est pour le début ! Je suppose leur existence pour montrer les deux propriétés qui correspondent au spoiler de Simeon. Le "vrai" raisonnement se trouve dans le dernier paragraphe.

Pour Bijoure : en gros (mal dit) tu peux dire que "si p est une période alors -p aussi" (j'avais prévenu que c'était mal dit ). Évidemment tout ça modulo que l'indice de ta suite soit toujours positif
Donc $ u_n = u_{n+p_1} = u_{n+p_1-p_2} $