Exercices de MPSI

[Lothbrok]

Un truc que je comprend pas pourquoi $ p_1-p_2 $ est une période ? $ n+p $ est une periode mais en quoi $ n-p $ en est une aussi ?

Non, n+p et n-p ne sont pas des périodes.
Je vais détailler au maximum pour que tu comprennes bien :
Il affirme en fait que pour un certain entier n, $ u_{n + p1} = u_{n + p2} $ par périodicité.
Mais tu es d'accord, pour $ m \ge p1 $, on peut dire que $ u_{m} = u_{m - p1} $. Donc de $ u_{n + p1} = u_{n + p2} $ on déduit que $ u_{n} = u_{(n + p2)- p1} $ (en prenant m=n+p1).

[BijouRe]

Oui je me suis mal exprimé, quand je dis $ n+p $ est une periode ça voulait dire $ U_{n+p}=U_n $ et de même pour $ n-p $.
Mais je comprend pas pourquoi $ U_{n-p}=U_n $

[bullquies]

c'est p la période, pas n-p ou n+p.

$ U_{n-p} = U_{(n-p)+p $ parce que $ p $ est une période.

[BijouRe]

Je viens de me rendre ccompte de ma connerie. ..

[czarmath]

Exercice:
Soit n,p des entiers naturels
Dénombrer l'ensemble :
$ \{(k_0,k_1,.....,k_n) \in [1,n-p+2] ^ {n+1} / k_0+...+k_n=p+2\} $

Edit: L'intervalle en question est un intervalle d'entiers.
Edit2:
Désolé, j'ai fait une erreur de frappe, voilà l'énoncé corrigé :

Exercice:
Soit n,p des entiers naturels
Dénombrer l'ensemble :
$ \{(k_0,k_1,.....,k_n) \in [1,p-n+2] ^ {n+1} / k_0+...+k_n=p+2\} $

[Siméon]

@Tornado : C'est presque parfait ! Je vais tout de même revenir sur le passage suivant :

De plus, soit $ n \geq p_2 $
On a $ u_n = u_{n+p_1} $. Comme $ p_2 $ est également période et que $ n+p_1 \geq p_2 $, on peut écrire (quitte a changer d'indice pour se convaincre) que $ u_n = u_{n+p_1-p_2} $

Tel que c'est écrit, tu traites seulement le cas $ n \geq p_2 $ (ce qui est insuffisant pour la définition de période). Mais as-tu vraiment besoin de cette restriction ?
Par ailleurs, il faudrait donner les détails correspondant à l'ellipse sur le changement d'indice.

[Siméon]

Exercice:
Soit n,p des entiers naturels
Dénombrer l'ensemble :
$ \{(k_0,k_1,.....,k_n) \in [1,p - n +2] ^ {n+1} / k_0+...+k_n=p+2\} $

Edit: L'intervalle en question est un intervalle d'entiers.

Indice :

SPOILER:

On peut exprimer la réponse sous la forme d'un coefficient binomial.

[czarmath]

Exercice:
Soit n,p des entiers naturels
Dénombrer l'ensemble :
$ \{(k_0,k_1,.....,k_n) \in [1,n-p+2] ^ {n+1} / k_0+...+k_n=p+2\} $

Edit: L'intervalle en question est un intervalle d'entiers.

Indice :

SPOILER:

Même en binaire, ce nombre a un seul chiffre.

Merci de voir l'énoncé corrigé.

[Tornado]

@Tornado : C'est presque parfait ! Je vais tout de même revenir sur le passage suivant :

De plus, soit $ n \geq p_2 $
On a $ u_n = u_{n+p_1} $. Comme $ p_2 $ est également période et que $ n+p_1 \geq p_2 $, on peut écrire (quitte a changer d'indice pour se convaincre) que $ u_n = u_{n+p_1-p_2} $

Tel que c'est écrit, tu traites seulement le cas $ n \geq p_2 $ (ce qui est insuffisant pour la définition de période). Mais as-tu vraiment besoin de cette restriction ?
Par ailleurs, il faudrait donner les détails correspondant à l'ellipse sur le changement d'indice.

Simeon : merci beaucoup pour tes indications !
L'hypothèse sur n est en effet complètement inutile puisque l'ajout de $ p_1 $ suffit a assurer la positivite de l'indice.
Pour le changement d'indice, je pensais à quelque chose de plus fastidieux mais Bullquies a fait observer qu'il suffisait d'écrire $ u_{n + p_1 - p_2 + p_2}= u_{n + p_1}= u_n $ par périodicité

[Sketshup]

Ma solution pour l'exercice de dénombrement:

SPOILER:

On pose pour tout i entre 0 et n, x_i = k_i - 1. Pour toute solution (k_i) dans [1; p-n+2]^{n+1}, on obtient un unique (n+1)-uplet (x_i) dans [0;p-n+1]^{n+1}.

De plus: k_0 + ... + k_n = p+2 équivaut à x_0 + ... + x_n = p-n+1.

Donc, l'ensemble qu'on cherche à dénombrer, et l'ensemble:

{(x_0, x_1, ..., x_n) \in [0; n-p+1]^{n+1} | x_0 + x_1 + ... + x_n = p-n+1}

sont équipotents. Il suffit de dénombrer ce dernier.

On considère la construction suivante:

Dans une ligne, on pose (p+1) briques dont (n) briques sont rouges (R) , et (p-n+1) briques sont bleues (B).

On appelle succession toute configuration possible d'alignement de R et de B. Par exemple, (B; B; B; R; B; B; R; R; B) est une succession pour n=3 et p=8.

Soit r une succession, on la parcourt de sa première entrée jusqu'à sa dernière (p+1)
On pose:
y_1 = Le nombre de briques bleues avant de rencontrer la première brique rouge.
y_2 = Le nombre de briques bleues avant de rencontrer la seconde brique rouge.
Récursivement:
y_{i} = Le nombre de briques bleues avant de rencontrer la i'ème brique rouge.
et: y_{n+1} = le nombre de briques bleues après la n'ème brique rouge.

Clairement: vu qu'il y'a exactement p-n+1 briques bleues. Tout y_i est inférieur à p-n+1, et la somme des y_i est exactement p-n+1.
Donc le (n+1)-uplet (y_i) est une solution.

Réciproquement. Soit x = (x_i) une solution. On construit la succession suivante:

Pour tout i entre 0 et n. x_i briques bleues sont directement suivies d'une brique rouge. Ainsi, on a n briques rouges, et x_0 + x_1 + x_2 + ... + x_n = p-n+1 briques bleues.
La suite de briques construite est donc une succession.


L'ensemble de successions, et l'ensemble qu'on cherche à dénombrer sont équipotents.

Il est facile de dénombrer l'ensemble de successions. On choisit n briques rouges parmis p+1 briques. Il s'agit de nC(p+1). (Ou bien p-n+1 bleues parmis p+1 briques, qui est le même nombre).


Le cardinal de l'ensemble est nC(p+1).

Saut erreur.