Exercices de MPSI

[lsjduejd]

Je conseille de retélécharger sur le même lien le PDF, j'y ai apporté quelques modifications importantes (alignement et quelques erreurs).

[Kuroshitsu]

MihoAzuki > Pour info les exos difficiles du PDF de KGD sont précédés d'un petit (*)

[publieur]

Bonsoir, j'ai compilé les exercices de la page 200 à la page 433, les voici :

http://www.mediafire.com/view/cjqtmhb7a ... C3%A9e.pdf

Je rappelle le volume 1 fait par KGD, accessible ici :

http://www.mediafire.com/view/rnp2t0e03 ... l_exos.pdf

PS : y'a 220 exercices

Il y a pas les corrections ?

[lsjduejd]

Elles sont sur le forum pour la plupart des exercices, suffit de faire une recherche.

[lsjduejd]

p un nombre premier et a, b entiers naturels. On suppose davantage que p est congru à 3 modulo 4.

Prouver que: p|a² + b² si et seulement si p divise a et b.

Je me permets de donner une autre indication "plus arithmétique" que celle de Siméon ^^ :

SPOILER:

Montrer que (-1) ne peut être un carré modulo p
A ce propos on pourra regarder : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 66#p714266

Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs a et b tels que a<b vérifiant $ \displaystyle a^{b}=b^{a} $ sont de la forme $ \displaystyle a= \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} $ et $ \displaystyle b=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n+1} $, n entier naturel non nul

Je donne la solution :

d'après un post précédent, on a en effet : $ a=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} $ et $ b=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n+1} $avec n rationnel non-nul. On va montrer qu'en fait n est entier.

SPOILER:

Soient a,b deux entiers naturels non-nuls premiers entre eux et p,q deux autres entiers naturels non-nuls premiers entre eux tels que :
$ (\frac{a}{b})^{\frac{p}{q}} $ est rationnel.
Montrons alors que a et b sont des puissances q-ième.
Notons $ (\frac{a}{b})^{\frac{p}{q}}=\frac{c}{d} $ avec c, d premiers entre eux.
Alors : $ (\frac{a}{b})^{p}=\frac{c^q}{d^q} $
Par unicité de la décomposition d'un rationnel positif sous la forme $ \frac{m'}{n'} $ avec m' et n' positifs premiers entre eux, on a :
$ a^p=c^q $ et $ b^p=d^q $.
Notons $ m'=a^p=c^q $, alors toutes les puissances des nombres premiers dans m' sont des multiples de p et de q donc de pq car p et q sont premiers entre eux. De même pour $ n'=b^p=d^q $
Du coup $ a^p $ est une puissance pq-ième donc a est une puissance q-ième et de même pour b Le lemme est démontré.

Notons $ n=\frac{p}{q} $ le rationnel évoqué au début du post.
Alors on a : $ a=\left( 1+\frac{q}{p}\right) ^{\frac{p}{q}}=\left(\frac{q+p}{p}\right) ^{\frac{p}{q} $ est rationnel.
Donc d'après le lemme précédent : p est une puissance q-ième et q+p est une puissance q-ième.
Or deux puissances q-ième distinctes non-nulles sont "distantes" d'au moins q+1 pour q>1. Donc nécessairement q=1 donc n est entier.

[Siméon]

p un nombre premier et a, b entiers naturels. On suppose davantage que p est congru à 3 modulo 4.

Prouver que: p|a² + b² si et seulement si p divise a et b.

Je me permets de donner une autre indication "plus arithmétique" que celle de Siméon ^^ :

SPOILER:

Montrer que (-1) ne peut être un carré modulo p
A ce propos on pourra regarder : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 66#p714266

Ça reste c'est trop dur si on ne connait rien de la structure des inversibles modulo p.
Voici quelques questions intermédiaires pour rendre ceci faisable en sortie de terminale :

SPOILER:

Soit $ p $ un nombre premier tel que $ p \equiv 3 \; [4] $.
On veut prouver qu'il n'existe aucun entier $ n $ tel que $ n^2 \equiv -1 \; [p] $.
On note $ Q $ l'ensemble des entiers $ k \in [1,p-1] $ pour lesquels il existe un entier $ n $ satisfaisant $ k \equiv n^2 \; [p] $.
1.a) Montrer que pour tout entier $ k \in [1,p-1] $, il existe un entier $ k' \in [1,p-1] $ tel que $ kk' \equiv 1 \;[p] $.
1.b) En déduire que $ (p-1)! \equiv -1 \; [p] $.
2) Soit $ \pi $ le produit des éléments de $ Q $. En raisonnant comme au 1.a), montrer que $ \pi \equiv -1 \; [p] $ si $ p-1 \in Q $ et $ \pi \equiv 1 \;[p] $ sinon.
3.a) En remarquant que $ k(p-k) \equiv -k^2 \;[p] $ pour $ 1 \leq k \leq p-1 $ montrer que $ (p-1)! \equiv (-1)^{(p-1)/2} \pi \; [p] $.
3.b) Conclure.

[lsjduejd]

J'aurais plus simplement essayé :

SPOILER:

Supposons par l'absurde que (-1) est un carré.
Alors $ (-1)=x^2[p] $
donc $ (-1)^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}[p] $
Donc d'après le petit théorème de Fermat, $ (-1)^{\frac{p-1}{2}}=1[p] $
Or $ \frac{p-1}{2} $ est impair car $ p=3[4] $ donc $ (-1)=1[p] $ donc p=2 : absurde.
Donc -1 n'est pas un carré modulo p.

Ca nécessite certes le petit théorème de Fermat, mais bon il est classique

[Siméon]

J'aurais plus simplement essayé :

SPOILER:

Supposons par l'absurde que (-1) est un carré.
Alors $ (-1)=x^2[p] $
donc $ (-1)^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}[p] $
Donc d'après le petit théorème de Fermat, $ (-1)^{\frac{p-1}{2}}=1[p] $
Or $ \frac{p-1}{2} $ est impair car $ p=3[4] $ donc $ (-1)=1[p] $ donc p=2 : absurde.
Donc -1 n'est pas un carré modulo p.

Ca nécessite certes le petit théorème de Fermat, mais bon il est classique

Oui, je pense que c'est le plus rapide. Mais il faudrait aussi faire prouver le petit théorème de Fermat.
J'ai voulu rester dans le programme de terminale. En plus, on prouve au passage le théorème de Wilson et on obtient la CNS sur $ p $ premier pour que $ -1 $ soit un carré modulo $ p $.

[Sketshup]

En voilà 3 autres :
1) L’entier 10000000000001 est-il premier ?

2) Montrer que pour tout $ (x,y,z,t,u) \in \mathbb{N}^5$, $x^2+y^2+z^2 \neq (8t+7)4^u $.

3) Soient $ (x_1,\ldots,x_5)$ dans $\mathbb{R}^5 $. On note $ S $ la collection des $ x_i+x_j, i \neq j $.
Connaissant $ S $, retrouver les $ x_i $.

SPOILER:

1) Le nombre est $ 10^{13} + 1 = (-1) + 1 = 0 [11] $. Il est composé.

SPOILER:

2)On peut supposer sans perdre de généralité que x, y, z ne sont pas tous pairs. En effet, s'ils sont tous pairs, on factorise par $ 4^u $, où $ u = min\{v_2(x), v_2(y), v_2(z)\} $ ($ v_2(a) $ est le nombre t tel que $ a = 2^{t}.m $ et $ m $ impair), et on obtient 3 nouveaux carrés non tous pairs.

Les restes des carrés modulo 8 sont 0, 4 pour les nombres pairs, et 1 pour les nombres impairs. Si de $ x, y, z $, il y'a 3 nombres impairs, alors la somme des carrés est congrue à 3 module 8. S'il y'a 2 nombres impairs, elle est congrue à 2 ou 6 modulo 8. S'il y'a 1 nombre impair, elle est congrue à 1, ou 5 modulo 8.

Donc: La somme de 3 carrés non tous pairs n'est jamais congrue à 7 modulo 8. Ce qui complète la preuve.

[MSman]

En voilà 3 autres :
1) L’entier 10000000000001 est-il premier ?

2) Montrer que pour tout $ (x,y,z,t,u) \in \mathbb{N}^5$, $x^2+y^2+z^2 \neq (8t+7)4^u $.

3) Soient $ (x_1,\ldots,x_5)$ dans $\mathbb{R}^5 $. On note $ S $ la collection des $ x_i+x_j, i \neq j $.
Connaissant $ S $, retrouver les $ x_i $.

SPOILER:

1) Le nombre est $ 10^{13} + 1 = (-1) + 1 = 0 [11] $. Il est composé.

SPOILER:

2)On peut supposer sans perdre de généralité que x, y, z ne sont pas tous pairs. En effet, s'ils sont tous pairs, on factorise par $ 4^u $, où $ u = min\{v_2(x), v_2(y), v_2(z)\} $ ($ v_2(a) $ est le nombre t tel que $ a = 2^{t}.m $ et $ m $ impair), et on obtient 3 nouveaux carrés non tous pairs.

Les restes des carrés modulo 8 sont 0, 4 pour les nombres pairs, et 1 pour les nombres impairs. Si de $ x, y, z $, il y'a 3 nombres impairs, alors la somme des carrés est congrue à 3 module 8. S'il y'a 2 nombres impairs, elle est congrue à 2 ou 6 modulo 8. S'il y'a 1 nombre impair, elle est congrue à 1, ou 5 modulo 8.

Donc: La somme de 3 carrés non tous pairs n'est jamais congrue à 7 modulo 8. Ce qui complète la preuve.

Ok pour la 1, une autre idée de preuve :

SPOILER:

Que vaut $ \dfrac{10000000000001}{11} $ (sous la forme d'une somme d'entiers)?

Ok pour la 2.