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Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 15:59
par Mathoss
C'est peut-être vrai JeanN, je ne saurais alors expliquer pourquoi Frobenius me paraît tellement plus obscur que Jordan (pas les preuves)!

Elle me plaît bien cette preuve là :D, c'est très chic

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 16:00
par Mathoss
Un exercice de théorie des groupes (l'indice est hors programme, mais pas violemment si?) assez joli:
Montrer qu'un sous-groupe de (Z^n,+) d'indice fini est isomorphe à (Z^n,+)

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 16:42
par matmeca_mcf1
Mathoss a écrit : ↑
14 févr. 2019 16:00
 Un exercice de théorie des groupes (l'indice est hors programme, mais pas violemment si?) assez joli:
Montrer qu'un sous-groupe de (Z^n,+) d'indice fini est isomorphe à (Z^n,+)
Hors-programme (résultat sur les modules libres finiment généré sur un anneau principal):
SPOILER:
Il y a un résultat sur les modules libres finiment générés sur les anneaux principaux qui dit que si A est un anneau principal, et si M est un A-sous module de $ A^n $, alors il existe $ e_1,\ldots,e_n $ base de $ A^n $ (en tant que A module) et $ d_1, \ldots,d_n $ dans A avec
$ d_i $ divisant $ d_{i+1} $ tel que
$$
M=\bigoplus_{i=1}^nd_iAe_i
$$
De là, on calcule explictement le quotient entre $ M $ et $ A^n $. Et on regarde quand il est de cardinal fini.

Et d'ailleurs, on peut aussi démontrer Froebenius à partir de ce résultat en voyant $ R^n $ comme un $ R[X] $ module. Mais c'est aussi très largement hors-programme en prépa.

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 18:04
par Mathoss
JeanN a écrit : ↑
14 févr. 2019 15:29
SPOILER:
Si A est une matrice de polynôme minimal P(X), A+lambda I a pour polynôme minimal P(X-lambda)
Il reste à choisir des lambdas pour rendre les ensembles de racines de chaque nouveau polynôme minimal de chaque bloc deux à deux disjoints.
D'ailleurs,cette preuve semble fonctionner en remplaçant C par un corps infini par exemple.
La première proposition topologique avait une faille, mais est-ce que on pourrait trouver une preuve topologique s'inscrivant bien dans le cadre de la prépa?
Je me demande si on peut pertinemment utiliser la densité de l'ensemble des matrices cycliques dans M_n(C)

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 18:15
par GaBuZoMeu
Bonsoir,

Pas besoin de parler de module de type fini sur un anneau principal !
SPOILER:
Soit $ G $ un sous-groupe de $ \mathbb Z^n $ tel que (*) pour tout $ a\in \mathbb Z^n $ il existe un entier $ k $ tel que $ ka\in G $. Alors il existe $ a_1,\ldots,a_n $ dans $ G $ tels que tout élément de $ G $ s'écrive de manière unique sous la forme $ \sum_{i=1}^n k_ia_i $ où les $ k_i $ sont des entiers.
On le montre par récurrence sur $ n $. C'est trivial pour $ n=0 $ (un peu de provoc). Supposons $ n>0 $, que c'est démontré pour $ n-1 $ et montrons le pour $ n $. Considérons le sous-groupe de $ \mathbb Z $ formé des dernières coordonnées d'éléments de $ G $. Il est de la forme $ \mathbb Z u $ où $ u $ est un entier non nul. Soit $ a_n $ un élément de $ G $ de dernière coordonnée $ u $. Tout élément $ a $ de $ G $ s'écrit de manière unique comme $ a = b+ k_na_n $ où $ k_n $ est un entier et $ b $ un élément de $ G\cap (\mathbb Z^{n-1}\times \{0\})= H $ . Comme $ H $ s'identifie à un sous-groupe de $ \mathbb Z^{n-1} $ pour lequel (*) est vérifié, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence. C'est gagné.

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 21:57
par JeanN
Mathoss a écrit : ↑
14 févr. 2019 18:04
JeanN a écrit : ↑
14 févr. 2019 15:29
SPOILER:
Si A est une matrice de polynôme minimal P(X), A+lambda I a pour polynôme minimal P(X-lambda)
Il reste à choisir des lambdas pour rendre les ensembles de racines de chaque nouveau polynôme minimal de chaque bloc deux à deux disjoints.
D'ailleurs,cette preuve semble fonctionner en remplaçant C par un corps infini par exemple.
La première proposition topologique avait une faille, mais est-ce que on pourrait trouver une preuve topologique s'inscrivant bien dans le cadre de la prépa?
Je me demande si on peut pertinemment utiliser la densité de l'ensemble des matrices cycliques dans M_n(C)
Comment démontres-tu cette densité ? Personnellement je ferais comme ci dessus avec des lambda assez petits...

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 14 févr. 2019 22:32
par GaBuZoMeu
Les matrices à polynôme caractéristique sans racine multiple sont cycliques, et l'ensemble de ces matrices est un ouvert dense puisque c'est le complémentaire du lieu d'annulation du discriminant du polynôme caractéristique.

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 15 févr. 2019 07:19
par Mathoss
JeanN a écrit : ↑
14 févr. 2019 21:57
 Comment démontres-tu cette densité ? Personnellement je ferais comme ci dessus avec des lambda assez petits...
Comme l'a fait GaBu, et il s'agit d'un ouvert également puisque si on considère à M cyclique, il existe X tq B=(X,MX,...,M^n-1*X) soit une base de C^n, donc: det_B (B)=1
L'application A->det_B(X,AX,...,A^n-1*X) est continue (polynomial en les coefficients de A) et non nulle en M, donc non nulle sur un voisinage de M, c'est gagné!

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 15 févr. 2019 13:35
par taupin295
Mathoss a écrit : ↑
15 févr. 2019 07:19
Comme l'a fait GaBu, et il s'agit d'un ouvert également puisque si on considère à M cyclique, il existe X tq B=(X,MX,...,M^n-1*X) soit une base de C^n, donc: det_B (B)=1
L'application A->det_B(X,AX,...,A^n-1*X) est continue (polynomial en les coefficients de A) et non nulle en M, donc non nulle sur un voisinage de M, c'est gagné!
Excuse moi mais tu utilises quelle caractérisation, j'arrive pas bien à reconnaître la méthode :?:

Re: Exos sympas MP(*)

Publié : 15 févr. 2019 14:11
par GaBuZoMeu
Définition : Un endomorphisme $ u $ d'un espace vectoriel $ E $ de dimension $ n $ est dit cyclique quand il existe un vecteur $ x \in E $ tel que $ (x,u(x),\ldots, u^{n-1}(x)) $ soit une base de $ E $.
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