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Mathoss a écrit : ↑

27 févr. 2019 21:08

artslidd a écrit : ↑

20 févr. 2019 21:24

Equivalent en $ 1^- $ de $ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x^n}{ln(n)} $

Déjà, par une comparaison série intégrale, somme des 1/ln(k) pour k=2 à n ~ intégrale de 2 à n de 1/ln(t)
Ensuite, intégrale de 1/ln(t) = [t/ln(t)] + intégrale de 1/ln(t)^2
Par comparaison, intégrale de 1/ln(t)^2 = o(n/ln(n))
D'où un équivalent de la somme partielle déjà

Ensuite, 1/(1-x) * Somme des x^n / ln(n) = somme des x^n * [somme sur k=2 à n des 1/ln(k)]
Il est alors classique que lorsque x->1-, somme des x^n *[somme sur k=2 à n des 1/ln(k)] ~ somme des n/ln(n) * x^n
Enfin, on remarque, en notant f la somme de la série entière qu'on étudie initialement, que somme des n*x^n / ln(n) ~ f'(x)
On a donc : f'(x)/f(x) ~ 1/1-x
D'où, par intégration des relations de comparaison, ln(f(x))~-ln(1-x) donc: f(x)~ 1/1-x

artslidd a écrit : ↑

28 févr. 2019 08:25

Mathoss a écrit : ↑

27 févr. 2019 21:08

artslidd a écrit : ↑

20 févr. 2019 21:24

Equivalent en $ 1^- $ de $ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{x^n}{ln(n)} $

Déjà, par une comparaison série intégrale, somme des 1/ln(k) pour k=2 à n ~ intégrale de 2 à n de 1/ln(t)
Ensuite, intégrale de 1/ln(t) = [t/ln(t)] + intégrale de 1/ln(t)^2
Par comparaison, intégrale de 1/ln(t)^2 = o(n/ln(n))
D'où un équivalent de la somme partielle déjà

Ensuite, 1/(1-x) * Somme des x^n / ln(n) = somme des x^n * [somme sur k=2 à n des 1/ln(k)]
Il est alors classique que lorsque x->1-, somme des x^n *[somme sur k=2 à n des 1/ln(k)] ~ somme des n/ln(n) * x^n
Enfin, on remarque, en notant f la somme de la série entière qu'on étudie initialement, que somme des n*x^n / ln(n) ~ f'(x)
On a donc : f'(x)/f(x) ~ 1/1-x
D'où, par intégration des relations de comparaison, ln(f(x))~-ln(1-x) donc: f(x)~ 1/1-x

Non c'est faux, 1/1-x est la série géométrique, donc une suite constante égale à 1. 1/ln(n) est négligeable devant 1 donc l'équivalent doit etre négligeable devant 1/1-x (exercice abordable)