l'XenY a écrit : ↑28 févr. 2019 21:16
Soit $ (\epsilon_{k}) $ une suite de variables aléatoires identiques et indépendantes de Rademacher. Montrer que la fonction qui à x associe :
$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k} x^{k} $
Admet presque sûrement une infinité de zéros sur [0,1]
Je vais proposer un début de réponse. Je ne suis pas allé jusqu'au bout mais cela devrait aider pendant un oral d'Ulm quand même. Le but d'un oral d'Ulm est de voir comment un élève réagit devant un problème non guidé et s'il fait preuve d'initiative. Si on a plein d'idées pour attaquer le problème mais qu'on attend d'avoir la réponse complète dans sa tête avant de commencer, on va donner la même impression à l'examinateur qu'un élève qui n'a aucune idée sur comment attaquer le problème donc il faut exposer à l'examinateur comment on compte attaquer le problème même si au final il est possible que ce que l'on tente ne fonctionne pas.
Pour simplifier l'écriture du problème, j'appelle $ \Omega $ l'espace probabilisé, et $ \mathbb{P} $ la mesure de probabilité $ \omega $ représentera toujours un élément de l'espace de probabilisé.
Voici la première chose à remarquer. Pour tout $ \omega $ fixé, le rayon de convergence de la série $ \sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k}(\omega) x^{k} $ vaut $ 1 $. Notons $ f_\omega $la fonction
$$
f_\omega\colon \mathopen{\rbrack}-1,+1\mathclose{\lbrack}\\
x\mapsto \sum_{k=0}^{\infty} \epsilon_{k}(\omega) x^{k}
$$
Je ne sais pas si le résultat est en prépa mais les zéros d'une fonctions dévelopable en série entière sont isolées. Ainsi, pour tout $ \omega $ dans $ \Omega $, l'ensemble des zéros de $ f_\omega $ n'admet pas de points d'accumulation dans $ \mathopen{\rbrack}-1,+1\mathclose{\lbrack} $. Donc pour tout $ \omega $ et tout $ 0<R<1 $, le nombre de zéros de dans $ [0,R] $ est fini. La seule possibilité pour $ f_\omega $ amette une infinité de zéros sur $ [0,1] $ est que $ 1 $ soit un point d'accumulation des zéros de $ f_\omega $. Cela donne envie de considérer l'ensemble:
$$
A=\{\omega\in\Omega:\forall N\in\mathbb{N}^*,\exists x>1-1/N, f_\omega(x)=0\}.
$$
Mais, il sera plus facile de travailler sur l'ensemble
$$
B=\{\omega\in\Omega:\forall N\in\mathbb{N}^*,\exists x>1-1/N,\exists y>1-1/N, f_\omega(x)>0 \text{ et } f_\omega(y)<0\},\\
=\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)>0\}\right)
\cap
\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)<0\}\right).
$$
On a $ B\subset A $. Il «suffit» de montrer que pour tout $ N\in\mathbb{N}^* $,
$$
\begin{gathered}
\mathbb{P}\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)>0\}\right)=1\qquad\qquad\mathrm{(1)}\\
\mathbb{P}\left(\bigcap_{N=1}^{+\infty}\{\omega\in\Omega: \exists x>1-1/N,f_\omega(x)<0\}\right)=1\qquad\qquad\mathrm{(2)}
\end{gathered}
$$
En fait, par symétrie, en remplaçant les $ \epsilon_k $ par $ -\epsilon_k $ dans la série, on s'aperçoit qu'il suffit de montrer (1).
Le plus dur reste à faire, mais si on arrive là lors de l'oral d'Ulm, on a au moins montré qu'on savait faire preuve d'initiative et qu'on savait aborder un exercice de probabilité. Tout en ayant montré qu'on sait faire appel à ses connaissances sur les fonctions développables en série entière.