Exercices de MPSI

[Whiskey]

Un exercice que je n'ai pas le mérite d'avoir réussi:

Soit $ x,y\in \mathbb{N}, $ on pose $ A=\frac{x^2+y^2+1}{xy} $

Sachant que A est un entier naturel, montrer que $ A=3 $

D'où sort cet exo ?

Sauf erreur :

SPOILER:

Etablir que, en supposant $ y>x $ tel que $ y=ax+b $ (division euclidienne), alors $ A=a+1 $.
En supposant que $ x>1 $ :
Montrer qu'alors $ f(x,b)=\frac{b^2+1}{x(x-b)} $ est égale à $ a-1 $.
Montrer ensuite que $ b \geq x-b $ et que, si $ b=\alpha(x-b) + \beta $ (division euclidienne) alors $ f(x-b,\beta)=f(x,b)=\alpha $
Montrer qu'en réitérant ce procédé, on stationne au couple (1,0).
Montrer que seul le couple (1,0) permet d'atteindre le couple (1,0).
En déduire que (x,b)=(1,0) et conclure.

SPOILER:

Cet exo sort d'un DS de MPSI, si vous le reconnaissez c'est que vous savez d'où exactement ^^
La résolution dont j'ai connaissance (et qui je le répète, ne vient pas de moi) se fait par une disjonction de cas, on suppose d'abord un couple $ (x_{0};y_{0}) $ solution, tel que $ x_{0}=y_{0} $, on trouve alors $ x_{0} $ et $ y_{0} $.
Ensuite on suppose $ x_{0}\neq y_{0}, y_{0}> x_{0} $ et on montre que $ y_{0}^2-x_{0}^2\leq 1 $, pour conclure quant aux autres couples solutions.

[Waat']

Je me permets de balancer ce poly (difficile !) qui contient pas mal d'exercices sympas (et HP pour quelques-uns) :
http://www.mediafire.com/view/m71qo1rg6 ... tiques.pdf

L'exercice sur zeta(2), je vois pas comment un élève qui n'a pas déjà vu la démonstration peut réussir à expliciter le polynôme en question avec si peu d'indications...(sauf si j'ai raté quelque chose).

[bullquies]

?
question 3 de l'exo on demande juste l'unicité, pas trop dur vu que la différence de deux polynômes possibles s'annule sur un ensemble infini
question 4 de l'exo il faut remplacer et justifier rapidement
question 5 faut être un peu créatif et repenser au développement de (x-r1)(x-r2) pour généraliser

[lsjduejd]

Je me permets de balancer ce poly (difficile !) qui contient pas mal d'exercices sympas (et HP pour quelques-uns) :
http://www.mediafire.com/view/m71qo1rg6 ... tiques.pdf

L'exercice sur zeta(2), je vois pas comment un élève qui n'a pas déjà vu la démonstration peut réussir à expliciter le polynôme en question avec si peu d'indications...(sauf si j'ai raté quelque chose).

Un TS random peut pas trouver, mais un gars qui connaît les complexes peut trouver facilement, c'est toujours la même histoire... Mais j'ai prévenu que c'était difficile et parfois HP

[lsjduejd]

Stop critiquer inutilement, ça rajoute des pages à ce topic de blabla qui noient les exercices. Propose tes exos si les miens te plaisent pas.

[BLH37]

Bon j'en propose un plutôt abordable ^^ :
Déterminer la limite en 0 de l'expression suivante : $ \frac{1-cos(x)}{\frac{x^2}{2}} $

[bullquies]

Ca marche pas un truc du genre montrer d'abord que x^2/2 - x^4/24<1-cos(x)<x^2/2 ?
Mais bonne chance pour trouver ça tout seul, ça a l'air sorti de mon c**

[Ginzly]

La limite vaut 1/4... Il y a une relation (non linéaire) entre 1 - cosx et sin(x/4). Astuce sans intérêt mais pas hors programme

[Ginzly]

Ah effectivement erreur de calcul
Demo :

1 - cos x = 2 [sin(x/2)]^2

Lim (1-cosx)/x^2 = Lim {2 [sin(x/2)]^2}/x^2

Lim {2 [sin(x/2)]^2}/x^2 = Lim [sin(x/2)]^2/(x^2/2)

Lim [sin(x/2)]^2/(x^2/2) = lim[sin(x/2)/(x/2)]*lim[sin(x/2)/2*(x/2)]

Lim (1-cosx)/x^2 = 1/2

Et tu multiplies par deux. J'avais divisé d'où mon erreur.
La solution naturelle je crois étant d'utiliser la règle d'hospital

[bullquies]

ta solution est meilleure parce que l'Hôpital ne marche pas pour tous les cas