Whiskey a écrit :Un exercice que je n'ai pas le mérite d'avoir réussi:
Soit $ x,y\in \mathbb{N}, $ on pose $ A=\frac{x^2+y^2+1}{xy} $
Sachant que A est un entier naturel, montrer que $ A=3 $
D'où sort cet exo ?
Sauf erreur :
SPOILER:
Etablir que, en supposant $ y>x $ tel que $ y=ax+b $ (division euclidienne), alors $ A=a+1 $.
En supposant que $ x>1 $ :
Montrer qu'alors $ f(x,b)=\frac{b^2+1}{x(x-b)} $ est égale à $ a-1 $.
Montrer ensuite que $ b \geq x-b $ et que, si $ b=\alpha(x-b) + \beta $ (division euclidienne) alors $ f(x-b,\beta)=f(x,b)=\alpha $
Montrer qu'en réitérant ce procédé, on stationne au couple (1,0).
Montrer que seul le couple (1,0) permet d'atteindre le couple (1,0).
En déduire que (x,b)=(1,0) et conclure.
SPOILER:
Cet exo sort d'un DS de MPSI, si vous le reconnaissez c'est que vous savez d'où exactement ^^
La résolution dont j'ai connaissance (et qui je le répète, ne vient pas de moi) se fait par une disjonction de cas, on suppose d'abord un couple $ (x_{0};y_{0}) $ solution, tel que $ x_{0}=y_{0} $, on trouve alors $ x_{0} $ et $ y_{0} $.
Ensuite on suppose $ x_{0}\neq y_{0}, y_{0}> x_{0} $ et on montre que $ y_{0}^2-x_{0}^2\leq 1 $, pour conclure quant aux autres couples solutions.
L'exercice sur zeta(2), je vois pas comment un élève qui n'a pas déjà vu la démonstration peut réussir à expliciter le polynôme en question avec si peu d'indications...(sauf si j'ai raté quelque chose).
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 27 août 2015 23:43
par bullquies
?
question 3 de l'exo on demande juste l'unicité, pas trop dur vu que la différence de deux polynômes possibles s'annule sur un ensemble infini
question 4 de l'exo il faut remplacer et justifier rapidement
question 5 faut être un peu créatif et repenser au développement de (x-r1)(x-r2) pour généraliser
L'exercice sur zeta(2), je vois pas comment un élève qui n'a pas déjà vu la démonstration peut réussir à expliciter le polynôme en question avec si peu d'indications...(sauf si j'ai raté quelque chose).
Un TS random peut pas trouver, mais un gars qui connaît les complexes peut trouver facilement, c'est toujours la même histoire... Mais j'ai prévenu que c'était difficile et parfois HP
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 28 août 2015 00:56
par lsjduejd
Stop critiquer inutilement, ça rajoute des pages à ce topic de blabla qui noient les exercices. Propose tes exos si les miens te plaisent pas.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 28 août 2015 16:22
par BLH37
Bon j'en propose un plutôt abordable ^^ :
Déterminer la limite en 0 de l'expression suivante : $ \frac{1-cos(x)}{\frac{x^2}{2}} $
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 28 août 2015 16:47
par bullquies
Ca marche pas un truc du genre montrer d'abord que x^2/2 - x^4/24<1-cos(x)<x^2/2 ?
Mais bonne chance pour trouver ça tout seul, ça a l'air sorti de mon c**
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Publié : 28 août 2015 16:48
par Ginzly
La limite vaut 1/4... Il y a une relation (non linéaire) entre 1 - cosx et sin(x/4). Astuce sans intérêt mais pas hors programme
