Exercices de MPSI

[wallissen]

Timée oups pardon Hunted est chaud pour les olympiades et le CG

En parlant de calcul d'aire , voici un calcul intégral qu'on peut difficilement faire sans passer par la géométrie et le calcul d'aire

On suppose a < b. Calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx $

[Hunted]

Timée oups pardon Hunted est chaud pour les olympiades et le CG

En parlant de calcul d'aire , voici un calcul intégral qu'on peut difficilement faire sans passer par la géométrie et le calcul d'aire

On suppose a < b. Calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(x-b)}dx $

SPOILER:

Si on note $ y $ l'intégrande, on a :

$ y_{a,b}(x)=\sqrt{(x-a)(x-b)} $

En manipulant correctement, on peut trouver que :

$ y^2+x^2-x(a+b) = ab $

$ y^2+ [x - (a+b)]^2 = ab + \frac{(a+b)^2}{4} $

Qui est l'équation d'un cercle si le membre de droite est positif, j'ai juste ?

En interprétant l'intégrale, on peut dire que c'est l'aire sous la courbe d'une partie d'un cercle, mais la flemme de continuer

[VanXoO]

Oui autant pour moi je voulais dire la racine du discriminant doit être entière d'ailleurs contradiction avec la ligne suivante qui parle de carrés parfaits... Autant pour moi, j'édite, et merci de la correction !

Non, je voulais dire que la racine et le discriminant peuvent tout deux être rationnels non entiers (une racine n'est pas soit entière soit irrationnelle, genre 1/2 est une racine de 1/4... C'est seulement vrai pour la racine d'un entier)... en l'occurrence il faut que ton discriminant soit un "carré parfait rationnel" donc que $ 8q^2 - 3p^2 $ soit un carré parfait

[wallissen]

Timée oups pardon Hunted est chaud pour les olympiades et le CG

En parlant de calcul d'aire , voici un calcul intégral qu'on peut difficilement faire sans passer par la géométrie et le calcul d'aire

On suppose a < b. Calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(b-x)}dx $

SPOILER:

Si on note $ y $ l'intégrande, on a :

$ y_{a,b}(x)=\sqrt{(x-a)(x-b)} $

En manipulant correctement, on peut trouver que :

$ y^2+x^2-x(a+b) = ab $

$ y^2+ [x - (a+b)]^2 = ab + \frac{(a+b)^2}{4} $

Qui est l'équation d'un cercle si le membre de droite est positif, j'ai juste ?

En interprétant l'intégrale, on peut dire que c'est l'aire sous la courbe d'une partie d'un cercle, mais la flemme de continuer

Heu y a une erreur de calcul à la première ligne, mais l'idée est là.
Sans l'erreur tu verras que c'est beaucoup plus simple de conclure.
EN tout cas bravo , d'avoir résolu l'exo à peine que je finisse de le rédiger

Edit pardon il n'y a pas d'erreur, c'est moi qui me suis trompé en rédigeant l'énoncé. c'est b -x au lieu de x - b. Je rectifie

[Hunted]

Timée oups pardon Hunted est chaud pour les olympiades et le CG

En parlant de calcul d'aire , voici un calcul intégral qu'on peut difficilement faire sans passer par la géométrie et le calcul d'aire

On suppose a < b. Calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(x-b)}dx $

Si on note $ y $ l'intégrande, on a :

$ y_{a,b}(x)=\sqrt{(x-a)(x-b)} $

En manipulant correctement, on peut trouver que :

$ y^2+x^2-x(a+b) = ab $

$ y^2+ [x - (a+b)]^2 = ab + \frac{(a+b)^2}{4} $

Qui est l'équation d'un cercle si le membre de droite est positif, j'ai juste ?

En interprétant l'intégrale, on peut dire que c'est l'aire sous la courbe d'une partie d'un cercle, mais la flemme de continuer

Heu y a une erreur de calcul à la première ligne, mais l'idée est là.
Sans l'erreur tu verras que c'est beaucoup plus simple de conclure.
EN tout cas bravo , d'avoir résolu l'exo à peine que je finisse de le rédiger

AH OUAIS, j'ai recopié bêtement, du coup ça fait un truc du genre :

$ y^2-x^2+x(a+b)-ab = 0 $

Mais là je vois pas ce que ça peut être dans mes souvenirs j'ai vu que les eq. cartésiennes de droites et de cercles non ? Le $ -x^2 $ me gène.

[wallissen]

Non l'erreur était de moi en rédigeant l'énoncé, tu peux regarder de nouveau.

Essaies peut être de mettre également en spoiler la résolution, pour les autres qui tentent

[Hunted]

Timée oups pardon Hunted est chaud pour les olympiades et le CG

En parlant de calcul d'aire , voici un calcul intégral qu'on peut difficilement faire sans passer par la géométrie et le calcul d'aire

On suppose a < b. Calculer $ \int_{a}^{b}\sqrt{(x-a)(x-b)}dx $

Si on note $ y $ l'intégrande, on a :

$ y_{a,b}(x)=\sqrt{(x-a)(x-b)} $

En manipulant correctement, on peut trouver que :

$ y^2+x^2-x(a+b) = ab $

$ y^2+ [x - (a+b)]^2 = ab + \frac{(a+b)^2}{4} $

Qui est l'équation d'un cercle si le membre de droite est positif, j'ai juste ?

En interprétant l'intégrale, on peut dire que c'est l'aire sous la courbe d'une partie d'un cercle, mais la flemme de continuer

Heu y a une erreur de calcul à la première ligne, mais l'idée est là.
Sans l'erreur tu verras que c'est beaucoup plus simple de conclure.
EN tout cas bravo , d'avoir résolu l'exo à peine que je finisse de le rédiger

Edit pardon il n'y a pas d'erreur, c'est moi qui me suis trompé en rédigeant l'énoncé. c'est b -x au lieu de x - b. Je rectifie

SPOILER:

Je me disais qu'y avait un truc qui clochait !

Alors, ça nous fait :

$ y_{a,b}(x)=\sqrt{(x-a)(b-x)} $

D'où :


$ y^2+x^2-x(a+b)=-ab $

D'où :

$ y^2+(x-\frac{a+b}{2})^2= -ab + \frac{(a+b)^2}{4} $

$ y^2+(x-\frac{a+b}{2})^2= \frac{(a+b)^2-4ab}{4} $

Le membre de droite ressemble à un discriminant d'un trinôme modulo le $ 1/4 $

[wallissen]

Tu ne vois rien pour simplifier le membre de droite ?

[Hunted]

Tu ne vois rien pour simplifier le membre de droite ?

SPOILER:

En développant et refactorisant on obtient bien un nombre positif :

$ \frac{(a+b)^2-4ab}{4} = \frac{(a-b)^2}{4} $

Du coup c'est bon !

[Hunted]

La "pré-rentrée" est très tôt cette année non ?