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Hunted a écrit :J'ai un exo : approximez $ \sqrt{2} $ (sans donner une valeur décimale bien sûr...)

Oui bien sûr sinon je ne poserais pas la question

J'te mets un indice en spoiler...

Je vous met un exo guidé que j'ai piqué dans un livre (de l'ancien programme) qui nous amène à établir que :

$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = e $

Voici l'exo guidé (mais quand même assez difficile) :

Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, on pose : $ I_n = \int_{1}^e \frac{(\ln x)^n}{x^2}\, \mathrm{d}x $

1- On pose, pour tout $ x \in [1 ; e] $ : $ F(x)= \frac{1+ \ln x}{x} $ . Calculer $ F'(x) $ puis en déduire $ I_1 $ .

2- A l'aide d'une intégration par parties, montrez que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :

$ I_{n+1} = - \frac{1}{e} + (n+1)I_n $

3- Montrer par récurrence que, $ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :

$ \frac{1}{n!} I_n = 1- \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!}) $

4- En utilisant un encadrement de $ \ln x $ sur l'intervalle $ [1 : e] $, montrer que,
$ \forall n \in \mathbb{N}^* $ :
$ 0 \leqslant I_n \leqslant 1 $

5- En déduire :
$ \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +...+ \frac{1}{n!} $

C'est Hors programme l'IPP

wallissen a écrit :C'est Hors programme l'IPP

Pas sur ce topic

corderaide a écrit :Ouais bah apprenez la demo de l'ipp et vous allez gagner du temps, en prépa

En plus ça n'a rien de bien compliqué, ça vient de la dérivée d'un produit de deux fonctions... Je vois pas pourquoi ils l'ont enlevé du programme... C'était le seul truc qui apportait du contenu au chapitre sur les intégrales, qui le rendait un peu subtil...
Vous comprenez, c'était trop lourd, y'avait déjà plein de propriétés du style :
$ \int_{a}^a f(x)\, \mathrm{d}x = 0 $

C'était une blague de ma part
Je pense que l'IPP c'est essentiel à connaitre pour faire une grosse partie des exos d'intégral.

Hunted a écrit :J'ai un exo : approximez $ \sqrt{2} $ (sans donner une valeur décimale bien sûr...)

Tiens d'ailleurs, vous savez comment approcher sa valeur analytiquement? Si non, vous avez une idée? C'est pas compliqué si vous cherchez bien

Yoki a écrit :

Hunted a écrit :J'ai un exo : approximez $ \sqrt{2} $ (sans donner une valeur décimale bien sûr...)

Tiens d'ailleurs, vous savez comment approcher sa valeur analytiquement? Si non, vous avez une idée? C'est pas compliqué si vous cherchez bien

Ça veut dire quoi "analytiquement" ?

corderaide a écrit :Ouais bah apprenez la demo de l'ipp et vous allez gagner du temps, en prépa

Eh oui ! Si vous l'apprenez vous gagnerez au moins une minute en prépa ! Quoique même pas sûr en fait: il faut bien le temps de l'écrire la démo...