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Hunted a écrit :

bullquies a écrit :

Hunted a écrit :J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Merci !

SPOILER:

En $ + \infty $, on a :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0 $

Or $ \lim\limits_{x \to 0} e^x = e^0 = 1 $ car $ exp $ est continue en $ 0 $.

De même :

$ \lim\limits_{x \to 0} \cos (x) = \cos (0) = 1 $ car $ \cos $ est continue en $ 0 $.

Donc par composition :

$ \lim\limits_{x \to + \infty} e^{\frac{1}{x} = 1 $

et

$ \lim\limits_{x \to + \infty} \cos (\frac{1}{x}) = 1 $

Donc finalement la parenthèse tend vers $ 2 $ et l'expression proposée tend vers $ + \infty $ en $ + \infty $ c'est le même topo en $ - \infty $ puisque l'inverse tend vers $ 0 $ lorsque $ x $ tend $ - \infty $ aussi.

Possible que j'ai fait une erreur quelque part, je poste rapido

Sylve a écrit :Il y a un $ - $ :>

bullquies a écrit :

Hunted a écrit :J'ai remarqué que les limites de Terminale sont assez subtiles à déterminer (changement de variables astucieux parfois). Possible que les taupins et post-taupins nous donnent une petite série de limites délicates à calculer (comme par exemple : $ \lim\limits_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{-x^2}} $) mais quand même faisable avec le niveau term ?

Pour sûr.

calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

SPOILER:

Règle de l'Hôpital imo

On pose $ y = \frac 1 x $. $ \lim\limits_{x \to +\infty} y = 0 $

$ $x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) = \frac{e^y-cos \: y}{y}$ $

$ $\lim\limits_{y \to 0} \frac{e^y-cos \: y}{y} = \lim\limits_{y \to 0} \frac{e^y + sin \: y}{1} = 1$ $

D'où : $ \lim\limits_{x \to +\infty} x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) = 1 $

AzertyBob a écrit :

bullquies a écrit :
calculer la limite en l'infini de $ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

Je tente, je suis pas sûr du tout, on a commencé le chapitre ce matin

SPOILER:

Or par définition: $ \lim\limits_{X \to 0} \frac{ e^X - cos(X)}{X} = 1 $ car $ \lim\limits_{X \to 0} cos(X)=1 $

Physteur a écrit :sur la difficulté du calcul de la limite de x/exp(-x^2) ? En effet il n'y a aucune astuce mais le programme de term a peut etre évolué

Hunted a écrit : Quand j'étais en première et que je feuilletais des livres de term au C.D.I, les intégrales et les limites me paraissaient comme le saint gräâl du lycéen

Sylve a écrit :

Magnéthorax a écrit :Il n'y a que moi qui suis dérangé par la question de départ de Hunted ?

Que c'est une limite évidente ?

SigmaPi a écrit : Ma résolution :

SPOILER:

On a, en posant $ X = 1/x $

$ x(exp(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x})) $

= $ \frac{e^X-cos(X)}{X} $

Or quand $ x \rightarrow \infty $, $ X \rightarrow 0 $
La limite à calculer est donc égale à : $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-cos(x)}{x} $

Considérons la fonction $ f : x \rightarrow \frac{e^x-cos(x)}{x} $
Cette fonction est dérivable dans un intervalle centré en $ 0 $, et $ f'(x) = e^x + sin(x) $ donc $ f'(0) = 1 $

Mais aussi, $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-cos(x)}{x} $ = $ lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} $ $ = f'(0) = 1 $

La limite à calculer est bien égale à 1