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$ $Calculer $$\sum\limits_{A\subset P, |A|<\infty} \prod\limits_{p\in A} \dfrac 1{p^2} $$ avec $P$ l'ensemble des entiers premiers.

Salut,

Soient $P, Q\in \mathbb Z[x] $.

A-t-on $\gcd(P(x), Q(x)) =1$ ssi $\exists N \in \mathbb N^*, \forall n\in \mathbb N, \dfrac{N} {\gcd(P(n), Q(n))} \in \mathbb N $?

Évidemment non, prendre $ P=Q=2 $. Mais sans doute la question est mal formulée.

Je rappelle que $\gcd(P(x), Q(x)) =1$ si $P, Q$ 2 polynômes non nuls, de degrés 0.

C'est faux dans $ \mathbb Z[X] $. Revois tes définitions, Dattier.

$ $Bien sûr je parle du pgcd polynomilale canonique, dans l'anneau principal $\mathbb Q[x] $, définit à une constante rationnelle multiplicative pré.

Une racine complexe

Soit $P\in \mathbb R_+[x] $ avec $deg(P) =n\geq 2$, $coeff(P, n-1)=0$ et $P(0)>0$.

A-t-on il existe $c\not \in \mathbb R $ tq $P(c) =0$?

Si P est tel que son coeff n-1 e est nul, alors la somme de ses racines est nulle via les relations coefficients racines. Or il est clair que P n'a pas de racines dans R+, puisqu'à coefficients positifs avec a0>0.
P ne peut donc pas avoir que des racines réelles négatives et admet une racine complexe non réelle au moins (en fait deux au minimum puisqu'il est réel) d'où le résultat d'après D'alembert Gauss.

E3A 4ever a écrit : ↑

15 mars 2022 07:31

Or il est clair que P n'a pas de racines dans R+, puisqu'à coefficients positifs avec a0>0...

Pourquoi?

En effet on pourrait très bien avoir un nombre paire de racines dans $\mathbb R_+^*$ et le reste des racines négatives non nulles.

M'enfin, Dattier-Contrexemple ? Tu ne vois pas qu'un polynôme à coefficients réels positifs ou nuls et coefficient constant strictement positif ne peut pas avoir de racine réelle positive ou nulle ?

Moins évident : le nombre de racines strictement positives d'un polynôme à coefficients réels est majoré par le nombre de changements de signe dans la suite de ses coeffcients (règle des signes de Descartes).

Contrexemple a écrit : ↑

14 mars 2022 23:35

$ $Bien sûr je parle du pgcd polynomilale canonique, dans l'anneau principal $\mathbb Q[x] $, définit à une constante rationnelle multiplicative pré.

Tu sembles ne pas savoir que l'anneau factoriel $ \mathbb Z[X] $ a des pgcd, définis à un inversible près de $ \mathbb Z[X] $ et donc en fait au signe près.
L'équivalence pourrait être formulée correctement ainsi : deux polynômes $ P $ et $ Q $ de $ \mathbb Z[X] $ ont un pgcd de degré 0 si et seulement si l'ensemble des pgcd de $ P(n) $ et $ Q(n) $, où $ n $ parcourt l'ensemble des entiers naturels, est contenu dans l'ensemble des diviseurs d'un entier >0.

J'ai déjà donné l'argument pour l'implication de la première propriété à la deuxième. Dans l'autre sens, il suffit de remarquer que si le pgcd (de coefficient dominant >0) de $ P $ et $ Q $ dans $ \mathbb Z[X] $ est $ D $, alors $ D(n) $ est un diviseur commun de $ P(n) $ et $ Q(n) $ pour tout entier $ n $ et que si $ \deg(D)>0 $, alors $ D(n) $ tend vers l'infini avec $ n $.